八年级数学教学竞赛 第7讲 二次根式的运算

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1、二次根式的运算竞赛讲座第七讲二次根式的运算式子(≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础。(1)(≥0)；(2)()；(3)()；(4)(0)。同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念。二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等。例题求解【例1】已知，则=。(重庆市竞赛题)思路点拨：因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足

2、，不妨从二次根式的定义入手。注：二次根式有如下重要性质：(1)，说明了与、一样都是非负数；(2)(0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；(3)，揭示了与绝对值的内在一致性。著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题。【例2】化简，所得的结果为（）A、B、C、D、(武汉市选拔赛试题)思路点拔：待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式。注：特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为

3、深刻的事实和规律。【例3】计算：（1）；（2）；（3）；（4）。思路点拨：若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口。【例4】(1)化简；(北京市竞赛题)Page7of7二次根式的运算竞赛讲座(2)计算(“希望杯”邀请赛试题)(3)计算(湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)思路点拨：（1）把4+2万与4—2分别化成一个平方数化简，此外，由于4+2与4—2是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；(3)通过配方，可以

4、简化一重根号，解题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题。【例5】已知，求的值。(山东省竞赛题)思路点拨：已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试。Page7of7二次根式的运算竞赛讲座二次根式的运算学历训练1、如果，那么=。(四川省竞赛题)2、已知，那么的值为。(成都市中考题)3、计算=。(天津市选拔赛试题)4、若ab≠0，则等式飞成立的条件是。(淄博市中考题)5、如果式子化简的结果为，则x的取值范围是()A、x≤1B、x≥2C、1≤x≤2D、x>0(

5、徐州市中考题)6、如果式子根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）A、B、C、D、7、已知，则的值为()A、B、C、D、8、已知，那么的值等于（）A、B、C、D、39、计算：(1)；（2）；(北京市数学竞赛题)（3）；（4）(“希望杯”邀请赛试题)Page7of7二次根式的运算竞赛讲座10、(1)已知与的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值；(2)设，，n为自然数，如果成立，求n。11、如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一

6、台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响．（1）问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由；(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：，)(贵阳市中考题)12、已知，，那么=。(T1杯全国初中数学联赛题)13、若有理数x、y、z满足，则=。(北京市竞赛题)14、设，其中a为正整数，b在0，1之间，则=。15、正数m、n满足，则=。(北京市竞赛题)16、化简等于()A、5—4B、4一1C、5D、－1(全国初中数学联赛题)17、若，则等于()A

7、、B、C、1D、－1(2004年武汉市选拔赛试题)18、若都是有理数，那么和面()(第13届“希望杯”邀请赛试题)A、都是有理数B、一个是有理数，另一个是无理数C、都是无理数D、有理数还是无理数不能确定19、下列三个命题：①若α，β是互不相等的无理数，则αβ+α－β是无理数；②若α，β是互不相等的无理数，则是无理数；③若α，β是互不相等的无理数，则是无理数。其中正确命题的个数是()A、0B、1C、2D、3(全国初中数学联赛试题)Page7of7二次根式的运算竞赛讲座20、计算：（1）（“希望杯”竞赛题）（2）（山东省竞赛题）（3）（四川

8、省选拔赛题）(4)(5)(新加坡中学生数学竞赛题)21、(1)求证(2)计算（“祖冲之杯”邀请赛试题）22、(1)定义，求的值。(2)设x、y都是正整数，且使，求y的最大值。(上海市竞赛题)23、试将实数改