数学培优竞赛新方法(九年级)-第4讲-一元二次方程的应用.doc

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1、第4讲一元二次方程的应用在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者，而在青少年的精神世界中，这种需要特别强烈。——苏霍姆林斯基知识纵横方程是刻画现实问题的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表。许多数学问题可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质而获解。一元二次方程的应用有以下几个方面：(1)求代数式的值；(2)列二次方程解应用题；(3)解相关几何问题。例题求解【例1】在平面直角坐标系中有点、，C是坐标轴上一点。若是直角三角形，则满足条件的点C的坐标是_________。（山东省竞赛题）思路点拨C点可在轴也可能在轴，又直角顶点未确定，故解

2、本例的关键是分类讨论。【例2】已知实数、满足，，则的值为（）。A．7B．C．D．5（全国初中数学竞赛题）思路点拨分别解关于、的方程。【例3】在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块高墙（墙长15cm）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围城（如图所示）。若花园的BC边长为x（m），花园的面积为y（m2）．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由；（3）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？（青岛市中考题）【例4

3、】已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度2m/s，连接PQ。若运动时间为t（s）（2

4、在平面直角坐标系中，直线与交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点。（1）求点A、B、C的坐标；（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标。分析对于（2），利用“腰相等”建立方程，解题的关键是分情况讨论状况。（太原市中考题）巧定价格【例6】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间。据预测，当每年的年租金定为10万元时，当全部租出。每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间。该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元。（1）当每间商铺的年租金定位13万元，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定位多少万元时，该公司的年收益（收益+

5、租金-各种费用）为275万元？（绍兴市中考题）学力训练基础夯实1.某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价的百分率相同，那么两次降价的百分率为_________。（大连市中考题）2.庆“五一”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有_______支队参加比赛。（鄂州市中考题）3.假如一人患红眼病，经过两轮传染共有144人患了红眼病，按这样的传播速度，若有两人患了红眼病，经过第一轮传染后患红眼病的人数共有______人。4．已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方

6、作正方形AENM．过E作EF丄CD，垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，則AE的长为_________．（2011年潍坊市中考题）(第4题）5.图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个2×2的近似正方形，其中完整菱形共有5个；若铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整的菱形有13个；铺成　4×4的近似正方形图案④，其中完整的菱形有25个；如此下去，可铺成一个n×n的近似正方形图案．当得到完整的菱形共181个时，n的值为（　　）A.7B.8C.9D.10（2011•荆州市中考题）6.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场

7、调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（海口市中考题）7.如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．（1）用含x的式子表示横向甬道的面积