数学培优竞赛新方法(九年级)-第23讲-几何定值.doc

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1、第23讲几何定值知识纵横几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。例题求解【例1】（1）如图1，圆内接中，，为圆的半径，于点，于点，求证：阴影部分四边形的面积是的面积的.（2）如图2，若保持角度不变，求证：绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是的面积的．（广东省中考题）思路点拨对于（1），连，则要证明，只需证明；对于（2），类比（1）的证明方法证明。【例2】如图，⊙

2、和⊙外切于点，是⊙和⊙的公切线，为切点．（1）求证：；（2）过点的直线分别交⊙和⊙于点，且是连心线时，直线DB与直线交于点．请在图中画出图形，并判断与是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线绕点旋转（不与点重合），请另画出图形，并判断与是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．（沈阳市中考题）思路点拨按题意画出图形，充分运用角的知识证明若，则这一位置关系不变。【例3】如图，定长的弦在一个以为直径的半圆上滑动，是的中点，是对作垂线的垂足，求证：不管滑到什么位置，是一定角．（第18届加拿大数学竞赛题）思路点拨不管滑到什么位置

3、，弧及的度数都是定制，从探寻与的关系入手。【例4】如图，扇形的半径，圆心角，点是弧上异于的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当点在弧上运动时，在中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：是定值．（广州市中考题）思路点拨对于（3），设法把用的代数式表示，通过计算的方式确定定值。而随着辅助线添加的不同，为探索不同的解题思路提供了可能，而解题的关键是对等分点条件的运用。【例5】如图，已知等边内接于圆，在劣弧上取异于的点，设直线与相交于，直线与相交于点，证明：线段和的乘积与点的选择无关．（湖北省竞赛题）思路点

4、拨即要证是一个定值，在图形中的边长是一个定值，说明与有关，从图知为与的公共边，作一个大胆的猜想，，从而我们的证明目标更加明确．以退为进【例6】如图1，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，⊙交x轴于两点，交轴于两点，且为弧的中点，交轴于点，若点的坐标为．（1）求点的坐标；（2）连接，求证：；（3）如图2，过点作⊙的切线，交轴于点．动点在⊙的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．（深圳市中考题）学力训练基础夯实1.阅读下列材料，然后解答问题．经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这

5、个圆的内接正四边形．如图，已知正四边形ABCD的外接圆⊙，⊙的面积为，正四边形的面积为，以圆心为顶点作，使，将绕点旋转，分别与⊙相交于点，分别与正四边形的边相交于点．设由弧及正四边形的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为.（1）当经过点时（如图①），则之间的关系为：（用含、的代数式表示）；（2）当时（如图②），点为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；（3）当旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．（邵阳市中考题）1.如图，在等腰三角形中，为底边的中点，以为圆心作半圆与相切，切点分别为．过半圆上一点作半圆的切线，分别交于．求证：为定值。3．

6、如图，已知等边三角形的周长为，为其内任一点，于，于，于。求证：（1）为定值；（2）为定值。（三明市中考题）4.已知半径为的⊙经过半径为的⊙的圆心，⊙与⊙交于两点．（1）如图1，连接交⊙于点，并延长交⊙于点，过点作⊙的切线交⊙′于两点，求的值；（2）若点为⊙上一动点．①当点运动到⊙内时，如图2，过点作⊙O的切线交⊙O′，于两点，则的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由；②当点运动到⊙外时，过点C作⊙的切线，若能交⊙于两点，如图3，则的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由．（济南市中考题）能力拓展5.如图，内接于圆的四边形的对角线与垂直相交于点，设圆的半径为，求证：

7、（1）是定值；（2）是定值。6.如图，已知为正方形的外接圆的劣弧上任意一点，求证：为定值。7.如图，已知为直角三角形，，点在轴上，点坐标为，线段与轴相交于点，以为顶点的抛物线过点．（1）求点的坐标（用表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，试证明：为定值．（湘潭市中考题）8.如图所示，四边形是矩形，点的坐标分别为，点是线段上的动点（与端点不重合），过点作直线交折线于点．（1）记的面积为，求与的函数关系式；（2）当点在线段上时