第06讲 几何的定值

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1、第06讲几何的定值内容提要1.解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：第一种是分两步完成：①先探求定值.　它要用题中固有的几何量表示.②再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.第二种是采用综合法，直接写出证明.乙例题例1.　已知：△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任一点，过点P作BC的垂线分别交AB，AC或延长线于E，F.求证：PE＋PF有定值.分析：（探求定值）用特位定值法.①把点P放在BC中点上.　这时过点P的垂线与AB，AC的交点都是点A，PE＋PF＝2PA，从而可确定定值是底上的高的2倍.D

2、AEBPCF因此原题可转化：求证：PA＋PB＝2AD　（AD为底边上的高）.证明：∵AD∥PF，∴；　.　　　∴.BCFPA即.∴PE＋PF＝2AD.②把点P放在点B上.　这时PE＝0，PF＝2AD（三角形中位线性质），结论与①相同.还可以由PF＝BC×tanC，把定值定为：BC×tanC.　　　　即求证PE＋PF＝BC×tanC.　（证明略）同一道题的定值，可以有不同的表达式，只要是用题中固有的几何量表示均可.例2.　已知：同心圆为O中，AB是大圆的直径，点P在小圆上求证：PA2＋PB2有定值.分析：用特位定值法.设大圆，小圆半径分别为R，r.①点P放在直径AB

3、上.得PA2＋PB2＝（R＋r）2＋（.R－r）2＝2（R2＋r2）.②点P放在与直径AB垂直的另一条直径上也可得PA2＋PB2＝R2＋r2＋R2＋r2＝2（R2＋r2）.249证明：　设∠POA＝α，根据余弦定理，得PA2＝R2＋r2－2RrCosα，　PB2＝R2＋r2－2RrCos(180－α).∵Cos(180－α)＝Cosα.∴PA2＋PB2＝2（R2＋r2）.本题一般知道定值是用两个圆的半径来表示的，所以可省去探求定值的步骤，直接列出PA，PB与R,　r的关系式，关键是引入参数α.例3.　已知：△ABC中，AB＝AC，点P在中位线MN上，BP，CP的延

4、长线分别交AC，AB于E，F.求证：有定值，分析：本题没有明显的特殊位置，不过定值一般是用三角形边长a,　b,　c来表示的,为便于计算引入参数t,用计算法证明.证明：设MP为t,则NP=a－t.∵MN∥BC，∴，　.即；∴=∵c是定线段，∴是定值.即有定值.例4.　已知：在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A、B两点)，以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作⊙M的切线，两条切线相交于点C.求证：∠ACB有定值.分析：　⊙M是△ABC的内切圆，∠249AMB是以定线段AB为弦的定弧所含的圆周角，它是个定角.(由正弦定理Sin∠AMB=)，所求定值可用它来表示

5、.证明：在△ABC中，∠MAB+∠MBA=180－∠AMB，∵M是△ABC的内心，∴∠CAB+∠CBA=2(180－∠AMB).∴∠ACB=180－（∠CAB+∠CBA）=180－2(180－∠AMB)=2∠AMB－180.由正弦定理，　∴Sin∠AMB=.∵弧AB所在圆是个定圆，弦AB和半径R都有定值，∴∠AMB有定值.∴∠ACB有定值2∠AMB－180.练习1.　用固有的元素表示下列各题中所求的定值　(不写探求过程和证明)：①.等腰三角形底边上的任一点到两腰距离的和有定值是___________.②.等边三角形内的任一点到三边距离的和有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿.

6、③.正n边形内的任一点到各边距离的和有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.④.延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边，相交得五个角：∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5它们的度数和是________，延长凸n边形　(n≥5)的各边相交，得n个角，它们的度数和是___________.　　　　　　　　　　　　(2001年希望杯数学邀请赛初二试题)2.　已知：点O是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点P在BC的延长线上，PD⊥BA交BA延长线于D，PE⊥AC交AC的延长线于E.求证：∠DOE是定角3　已知：点P是线段AB外一点，PD⊥AB于D，且PD=AB，H是△PAB的垂

7、心，C是AB的中点.　　　　求证：CH+DH是定值.4.　经过∠XOY的平分线上的任一点A，作一直线与OX，OY分别交于P，Q则OP，OQ的倒数和是一个定值.5．△ABC中，AB=AC=2，BC边有100个不同点P1，P2，……，P100，记mi=APi2+Bpi×PiC(i=1,2,3,……,100).则m1+m2+……+m100=＿＿＿＿＿＿＿＿.(1990年全国初中数学联赛题)249阅读材料：动起来的数学问题让学生动起来，是我们数学新教材所要求的一个重要方面,也对我们数学教师提出了更高的要求。同时，促进学生动手、动脑，探索问题、解决问题、提高创新能力的一个重

8、要举措，为