几何定值问题.doc

《几何定值问题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、几何定值问题知识要点：几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于

2、中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法。典型例题：一、定量问题：1、定积：例1如图，已知等边和点P，设点P到三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h1、h2、h3，的高为h。在图（1）中，点P是边BC的中点，此时h3=0，可得结论：h1+h2+h3=h。在图（2）~（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上，内、外。（1）请探究：图（2）~（5）中，h1、h2、h3、

3、h之间的关系；（直接写出结论）（2）证明图（2）所的结论；（3）证明图（4）所的结论；变式练习如图，若四边形RBCS是等腰梯形，==60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，梯形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为；上题图（4）与右图中等式有何关系？例2如图，已知菱形ABCD外切于⊙O，MN是与AD、CD分别交于M、N的任意一条切线。求证：AM·CN为定值。2、定比：例1如图，两圆相交于点A、B，过点B引割线分别交两

4、圆于C、D，连结AC、AD。求证：AC：AD为定值。变式练习如图，⊙O的半径为，Q为⊙O外一点，QA、QB切⊙O于A、B，P为直线上任一点，且P在⊙O的外部，QSOP于S，则OP·OS=。例2设是等边三角形，P是内任意一点，作三角形三边的垂线PD、PE、PF，点D、E、F是垂足。试证不管P在哪里，总有=。3、定平方和：例如图，⊙O的半径为R，AB、CD是⊙O的任意两条弦且ABCD于M。求证：+为定值。变式练习如图，内接于⊙O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K，设⊙O的半径为R。求证：（

5、1）+++是定值。（2）+++是定值。4、定倒数和：例如图，过⊙O内定点P作任意弦AB，又过A、B作两切线，自点P作两切线的垂线PQ、PR，垂足为Q、R。求证：+为定值。变式练习如图，已知A是定角的平分线上一个定点，过A任作一条直线与OM、ON分别交于P、Q。求证：+为定值。5、定长：例在给定的梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB边上的动点，点、分别是和的外心。求证：的长为一定值。变式练习如图，在中，与底边BC为一定值，BDAC，CEAB，D、E为垂足，连结DE。求证：DE为定长。6、定角：例如图，

6、定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足。求证：不管ST滑到什么位置，是一定角。二、定型问题：1、定点：例如图，在直线d上顺次取定A、B、C三点，AB=4BC，动点M在直线d的过点C的垂线上，以A为圆心，AB为半径作圆，、是该圆的两条切线，、为切点，求证：无论点M在垂线上如何运动，直线必经过一定点。变式练习如图，已知等边内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点M，直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于N。证明：线段AK与BN的乘积与M点的选择无关。2、

7、定向：例如图，A为定圆O上的一定点，在过A的切线上任取一点B，并过线段AB的中点C作任意割线CDE，交⊙O于D、E，又直线BD、BE与⊙O相交于P、Q，求证：弦PQ恒有定向。课外练习：A组：1、2、3、4、5、B组：1、2、3、C组：1、如图，点O是等边内部一点，G是的重心，直线OG与（或其延长线）分别相交于点。求证：2、已知ABCD是圆内接四边形，点E、F分别为AB、CD上的点，且满足，设P是线段EF上满足的点。证明：和的面积之比不依赖于点E、F的选择。参考答案典型例题：一、1、例1（1）图（2）

8、~图（5）中的关系依次是：h1+h2+h3=h；h1-h2+h3=h；h1+h2+h3=h；h1+h2-h3=h。（2）图（2）中，h1+h2+h3=h。连结AP，则S+S=S，ABh1+ACh2=BCh。又h3=0，AB=AC=BC，h1+h2+h3=h。（3）图（4）中，h1+h2+h3=h。过点P作RS∥BC与边AB、AC相交于点R、S。在中，由图（2）中结论知：h1+h2+0=h-h3。h1+h2+h3=h。变式练习h1+h3+h4=。让R、S沿BR、CS延长