几何定值与极值问题

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1、几何定值和极值1.几何定值问题(1)定量问题：解决定量问题的关键在探求定值，一旦定值被找出，就转化为熟悉的几何证明题了。探求定值的方法一般有运动法、特殊值法及计算法。(2)定形问题：定形问题是指定直线、定角、定向等问题。在直角坐标平面上，定点可对应于有序数对，定向直线可以看作斜率一定的直线，实质上这些问题是轨迹问题。2.几何极值问题：最常见的几何极值问题大体包括：有关线段的最大最小问题；三角形面积的最大最小问题；角的最大最小问题等。【例题分析】例1.已知的两边的中点分别为M、N，P为MN上的任一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、E，求证：为

2、定值。分析：用运动法探求定值，先考虑特殊情况，令P在MN上向M运动，此时D点向A运动，P点运动到M时，D点将与A点重合，而AM＝MB，于是，于是转入一般证明。证明：连结AP例2.两圆相交于P、Q两点，过点P任作两直线与交一圆于A、B，交另一圆于、，AB与交于点C，求证：为定值。15分析：设两圆为⊙O、⊙，现从运动极端分析，因为直线与都是以P为固定点运动的。当与重合时，便成了左图的情况，而AC和分别成了两圆的切线。且，QA、分别为直径。容易求得这就是所求的定值。证明：如右图，连结PQ、BQ、则有例3.在定角XOY的角平分线上，任取一点P，以P为圆心，任

3、作一圆与OX相交，靠近O点的交点为A，与OY相交，远离O点的交点为B，则为定角。分析：先探求定值，根据特殊化求定值，一般证明的原则，先看图(2)，如果以角平分线上任意一点P为圆心，以OP为半径作圆，此时，A点与O点重合，证明：如图(1)，作15例4.已知E、F分别是四边形ABCD的AB、CD边上的中点求证：分析：本题即证EF的最大值为，因此可先考虑特殊情况，以找出等号成立的条件，再证一般情况。证明：(1)当四边形中AD//BC时，如左图EF是梯形ABCD的中位线(2)当AD不平行BC时，如右图连结AC，取AC的中点G，再连结EG、FG在中，在中，又中

4、，综合(1)(2)，得【考点解析】例1.如图，AD是⊙O的直径，B是AD延长线上一点，BE切⊙O于点E，交BE延长线于点C，若，弦EG交AD于点F。求证：。证明：连结AE、ED15点评：本题用到了垂径定理的推论，圆周角、弦切角、直径所对的圆周角、直角三角形两锐角互余，角平分线的性质等知识。例2.如图，在中，，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆与AC切于点D，与AB交于点E，若AD＝2，AE＝1，求的值和四边形BCDE的面积。分析：求的值，需要用转化的思想，因为不是直角三角形，所以要转化到直角三角形中解决问题。因为，所以可以把问题转化到中解决

5、问题。求四边形可以用割补的方法，把四边形分割成和等腰两个三角形分别求解。解：连结BD，过D点作于点F15点评：本题主要运用了转化的思想，把求转化到了中来解决。考查了相似三角形、弦切角、圆周角、勾股定理等知识。【模拟试题】一.几何定值问题1.求证：正三角形内一点到三边距离之和为定值。152.在正方形ABCD的外接圆的AD上任取一点P，则(PC＋PA)：PB为定值。3.在正方形ABCD内，以A点为顶点作且，设这个角的两边分别交正方形的边BC、CD于Ｅ、F，自E、F分别作正方形对角线AC的垂线，垂足为P、Q。求证：过B、P、Q所作圆的圆心在BC上。4.已知

6、CD是半径为R的⊙O的直径，AB是动弦，AB与CD相交于E，且成角，求证：为定值。二.几何极值问题5.在中，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC上的点，试证明的面积不超过的面积之和。的周长6.如图，中，D、E分别是BC、AB上的点，且，如果依次是m、，证明：。157.已知P为平行四边形ABCD的AB边上的一个动点，DP的延长线与CB的延长线相交于Q，问P点在什么位置时，使得的值最小？8.设AB是⊙O的动切线，与通过圆心O而互相垂直的两直线相交于A、B，⊙O的半径为r，求OA＋OB的最小值。【疑难解答】A.教师自己设计问题：1.本周的模拟试题为什么没

7、有选择题和填空题？2.解答题的8个题各属于几何定值和极值的哪种类型？它们的解题思路是什么？B.对问题的解答：1.本周的几何定值和极值问题综合性较强，而且一般都在解答题中出现，选择题和填空题出现极少，因此本周的模拟试题都是解答题。2.答：解答题的第1题、第2题和第4题是几何定值中的定量问题；第3题是几何定值中的定形问题；第5到第8题是几何极值问题。下面就这8个题的解题思路分别作以下的说明。第1题：已知P为正内任意一点，它到BC、CA、AB的距离分别为PE、PF、PD，求证：PD＋PE＋PF为定值。分析：点P可以在三角形内任意运动，当P点运动到正三角形的

8、一个顶点时，显然就是正三角形的高，因此，PD＋PE＋PF必取定值，这个定值，就是的高h。证明：连结PA、PB