平面几何的定值与最值问题

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1、第二十三讲平面几何的定值与最值问题【趣题引路】传说从前有一个虔诚的信徒,他是集市上的一个小贩.每天他都要从家所在的点A出发,到集市点B,但是,到集市之前他必须先拐弯到圆形古堡朝拜阿波罗神像.古堡是座圣城,阿波罗像供奉在古堡的圆心点O,而周围上的点都是供信徒朝拜的顶礼地点如图1.这个信徒想,我怎样选择朝拜点,才能使从家到朝拜点,然后再到集市的路程最短呢?(1)(2)解析在圆周上选一点P,过P作⊙O的切线MN,使得∠APK=∠BPK,即α=β.那么朝圣者沿A→P→B的路线去走,距离最短.证明如图2,在圆周上除P点外再任选一点P′.连结BP′与切线MN交于R,A

2、R+BR>AP+BP.∵RP′+AP′>AR.∴AP′+BP′=AP′+RP′+RB>AR+BP>AP+BP.不过,用尺规作图法求点P的位置至今没有解决.“古堡朝圣问题”属于数学上“最短路线问题”,解决它的方法是采用“等角原理”.【知识延伸】平面几何中的定值问题,是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变,或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题.所谓几何定值问题就是要求出这个定值.在解决这类问题的过程中,可以直接通过计算来求出定值;也可以先考虑某一个特殊情形下的该相关值,然后证明当相应几何元素变化时,此值保持不变.例1如果△ABC的外接圆半径

3、R一定,求证:是定值.(S表示△ABC的面积)解析由三角形面积S=absinC和正弦定理=2R,∴c=2RsinC.-8-∴===4R是定值.点评通过正弦定理和三角形面积公式经过变形,计算出结果是4R,即为定值.平面几何中不仅有等量关系,还有不等关系,例如在变动一些几何元素时,某一相关的值保持不大于(或不小于)某个定值,如果这个定值在某个情形下可以取得,这就是一个几何极值.确定几何极值的问题称为几何极值问题,解决这些问题总要证明相关的几何不等式,并指明不等式成为等式的情形(或者至少证明不等式可以成为等式).例2如图,已知⊙O的半径R=3,A为⊙O上一点,过

4、A作一半径为r=3的⊙O′,问OO′何时最长?最长值是多少?OO′何时最短?最短值是多少?解析当O′落在OA的连线段上(即⊙A与线段OA的交点B时)OO′最短,且最短长度为3-3;当O′落在OA的延长线上(即⊙O与OA的延长线交点C时)OO′最长,且最长的长度为3+3.点评⊙O′是一个动圆,满足条件的⊙O′有无数个,但由于⊙O′过A点,所以⊙O′的圆心O′在以A为圆心半径为3的⊙A上.【好题妙解】佳题新题品味例1如图,已知P为定角O的角平分线上的定点,过O、P两点任作一圆与角的两边分别交于A、B两点.求证:OA+OB是定值.证明连结AP、BP,由于它们为有

5、相同圆周角的弦,AP=PB,不妨记为r.另记x1=OA,x2=OB.对△POA应用余弦定理,得x12+OP2-2OP·cos∠AOP·x1=r2.故x1为方程x2-2OP·cos∠AOB·x+(OP2-r2)=0的根,同理x2亦为其根.因此x1,x2为此方程的两根,由韦达定理,得x1+x2=2OP(∠AOB)是定值.点评当x1=x2时,x1+x2为此定值,事实上此时OP一定是直径.例2如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=9,⊙O与外切,且⊙O与AB、BC相切.⊙O′与AD、CD相切,设⊙O的半径为x,⊙O与⊙O′的面积的和为S,求S的最大值和最小值.解

6、析设⊙O′的半径为y,过O与O′-8-分别作CD与BC的垂线OH,O′F,垂足分别为H,F,OH、O′F交于点E,则有:O′E=8-(x+y),OE=9-(x+y)由勾股定理可得:(x+y)2=[8-(x+y)]2+[9-(x+y)]2.整理,得(x+y-29)(x+y-5)=0,由题意知1≤x≤4,∴x+y=5,y=-x+5,∴S=x+y=(2x-10x+25),=2[(x-)2+],故当x=时,Smin=;当x=4时,S=17.点评先由已知求出⊙O′的半径也⊙O的半径x之间的关系,然后再根据面积公式写出S与x之间的关系,这个关系就是一个函数关系,再通过

7、函数的性质得解.中考真题欣赏例(南京市中考题)如图,⊙O1与⊙O2内切于点P,又⊙O1切⊙O2的直径BE于点C,连结PC并延长交⊙O2于点A,设⊙O1,⊙O2的半径分别为r、R,且R≥2r.求证:PC·AC是定值.解析若放大⊙O1,使⊙O1切⊙O2的直径于点O2(如图),显然此时有PC·AC=PO2·AO2=2r·R(定值).再证明如图的情况:连结CO1,PO2,则PO2必过点O1,且O1C⊥BE,得CO2==,从而BC=R+,EC=R-.所以PC·AC=EC·BC=2Rr,故PC·AC是定值.点评解答几何定值问题时,可先在符合题目条件的前提下用运动的观点

8、,从特殊位置入手,找出相应定值,然后可借助特殊位置为桥梁,完成一般