数学培优竞赛新方法(九年级)-第22讲-几何最值.doc

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1、第22讲几何最值知识纵横几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。求几何最值问题的基本方式有：1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理.3.数行结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。例题求解【例1】如图，在锐角中，，，的平分线交于点，点、分别是和上的动点，则的最小值。（陕西省中考题）例1思路点拨画折线为直线，综合运用轴对称、垂线段

2、最短等知识。【例2】如图，在中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF的最小值（）。A.B.4.75C.5D4.8（兰州市中考题）例2思路点拨设O与AB相切与T，连OC、OT,EF为O直径，则EF=OE+OF=OC+OT,将问题转化为求OC+OT的最小值。【例3】如图，正方形的边长为4cm，点是边上不与点B、C重合的任意一点，连接AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为cm，CQ的长为cm.(1)求点P在BC上运动的过程中y的最大值；(1)当cm时，求的值.（河南省中考

3、题）思路点拨利用相似形建立与的函数关系式，由此导出的最大值例3【例4】如图，已知平行四边形ABCD，AB=a，BC=b（a>b）,P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q，求AP=BQ的最小值.（永州市竞赛题）思路点拨设AP=x，把AP、BQ分别用x的代数式表示，运用不等式或（当且仅当a=b时取等号）来求最小值.例4例5【例5】如图，在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90，BC、AD的延长线交于P，求AB·S△PAB的最小值.图形折叠【例6】在等腰中，==5，=6.动点、分别在两腰、上（M不与A、B重合，N不与

4、A、C重合），且MN//BC，将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P.（1）当为何值时，点恰好落在上？（2）设，与等腰重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式.当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？.（2011年宁夏中考题）例6学力训练基础夯实1．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长为6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_______。第1题（荆门市中考题）2．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小

5、值，那么菱形周长的最大值是________。第2题（烟台市中考题）1．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A处，折痕为PQ．当点A在BC边上移动时，折叠的端点P、Q也随之移动。若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为_______。（河南省中考题）第3题4．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC,AD=DC=4，BC=8。点N在上，CN=2,E是AB中点，在AC上找一点M，使EM+MN的值最小，此时最小值一定等于（）。A.6B.8C.4D.第4题（呼和

6、浩特市中考题）5．如图，在等腰中，，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是（）。　A．①②③B．①④⑤C．①③④D．③④⑤第5题（重庆市中考题）6．如图，已知A(-3,0)，b(0,-4)，P为双曲线（）上任意一点，过P作PC⊥X轴于C点，PD⊥Y轴于D点，则四边形ABCD面积的最小值为（）。A

7、.22B.23C.24D.26第6题（杭州市中考题）7．如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（1）求证：AC•CD=PC•BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；（3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．（荆门市中考题）第7题8.工程师有一块长AD为12分米，宽AB为8分米的铁板，截去了长AE=2分米，AF=4分米的直角三角形，在余下的五边形中结的矩形MGCH，M必须

8、在线段EF上．（1）若截得矩形MGCH的面积为70平方分米，求矩形MGCH的长和宽．（2）当EM为多少时，矩形MGCH的面积最大？并求此时矩形的周长．（鄂州市中考题）第8题能力拓