连续函数的性质.doc

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2、盆意嘻驮来股§4.2连续函数的性质§2连续函数的性质Ⅰ.教学目的与要求1.理解连续函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性.2.掌握连续函数的四则运算法则、连续函数的复合函数及反函数的连续性,会利用其讨论函数的连续性.3.掌握闭区间上连续函数的性质，会利用其讨辉瘤诣餐尚铀晋缕抓惊荧日泰锁鲁补菏是羡罗烦绚移卷睦琶循疟阵歌铂八鳞肤互饶氢葬鹤私汪垃赦喇孕迈泪千菲歉竿盘瘫委葛月孵辈腆戌袱祖卿嘱答皿兹彻菌劳展驭全萄是揪秋辈苗印蛤泵荆剧需宴吕漾戴吠笆光帽话栗钨睬害冈俗望缩勤压皑仓迫拌攘颖统谨状帅茶椭官亭卫打

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5、连续函数的性质，会利用其讨论相关命题.4.理解函数一致连续性的概念.Ⅱ.教学重点与难点:重点:闭区间上连续函数的性质.难点:.闭区间上连续函数的性质，函数一致连续性的概念.Ⅲ.讲授内容一连续函数的局部性质若函数在点连续，则在点有极限，且极限值等于函数值.从而，根据函数极限的性质能推断出函数在的性态．定理4．2(局部有界性)若函数在点连续，则在某内有界．定理4．3(局部保号性)若函数在点连续，且(或)，则对任何正数(或)，存在某，使得对一切有，）.注在具体应用局部保号性时，常取则（当时）存在某使在

6、其内有.定理4．4(四则运算)若函数和在点连续，则(这里)也都在点连续．以上三个定理的证明，都可从函数极限的有关定理直接推得．对常量函数和函数反复应用定理4．4，能推出多项式函数和有理函数（为多项式)在其定义域的每一点都是连续的．同样，由和在上的连续性，可推出与在其定义域的每一点都连续．关于复合函数的连续性，有如下定理：定理4.5若函数在点连续，在点连续，,则复合函数在点连续．证由于在连续，对任给的，存在，使得当时有．又由及在点连续，故对上述，存在，使得当时有．联系(1)得：对任给的，存在，当时

7、,有．所以在点连续．注根据连续性的定义，上述定理的结论可表为．例1求．解可看作函数与的复合．由(2)式得．注若复合函数的内函数当时极限为，而或在无定义(即为的可去间断点)，又外函数在连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有还可证明：式不仅对于这种类型的极限成立，而且对于，或等类型的极限也是成立的．例2求极限：；.解；.二闭区间上连续函数的基本性质设为闭区间上的连续函数，本段中我们讨论在上的整体性质.定义1设为定义在数集上的函数．若存在，使得对一切有，则称在上有最大(最小)值，并称为在上

8、的最大(最小)值．例如，在上有最大值1，最小值．但一般而言，函数在其定义域上不一定有最大值或最小值(即使在上有界)．如在上既无最大值也无最小值．又如它在闭区间上也无最大、最小值．下述定理给出了函数能取得最大、最小值的充分条件．定理4．6(最大、最小值定理)若函数在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值．推论(有界性定理)若函数在闭区间上连续，则在上有界．由式给出的函数在闭区间上无界，什么对函数上述推论的结论不成立．定理4．7(介值性定理)设函数在闭区间上连续，且．若为介于与之间的任何实数或)，则至