【冀教版】2020年春季 九年级数学下册微卷专训：阶段方法技巧训练 专训2　圆中常用的作辅助线的八种方法.doc

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1、专训2　圆中常用的作辅助线的八种方法名师点金：在解决有关圆的计算或证明题时、往往需要添加辅助线、根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径、巧用同圆的半径相等；连接圆上两点、巧用同弧所对的圆周角相等；作直径、巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时“连半径、证垂直”以及“作垂直、证半径”等．作半径、巧用同圆的半径相等1．如图、两正方形彼此相邻、且大正方形ABCD的顶点A、D在半圆O上、顶点B、C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上、E点在半圆O的直径上、点G在大正方形的边AB上．若小

2、正方形的边长为4cm、求该半圆的半径．(第1题)连接圆上两点、巧用同弧所对的圆周角相等2．如图、圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于D点、DP⊥AC、垂足是P、DH⊥BM、垂足为H.求证：AP＝BH.(第2题)作直径、巧用直径所对的圆周角是直角3．如图、⊙O的半径为R、弦AB、CD互相垂直、连接AD、BC.(1)求证：AD2＋BC2＝4R2；(2)若弦AD、BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)、求⊙O的半径及点O到AD的距离．(第3题)证切线时辅助线作法的应用4．如图、△ABC内接于⊙O、C

3、A＝CB、CD∥AB且与OA的延长线交于点D.判断CD与⊙O的位置关系、并说明理由．(第4题)遇弦加弦心距或半径5．如图、在半径为5的⊙O中、AB、CD是互相垂直的两条弦、垂足为P、且AB＝CD＝8、则OP的长为(　　)A．3B．4C．3D．4(第5题)　　　　　(第6题)6．【中考·贵港】如图、AB是⊙O的弦、OH⊥AB于点H、点P是优弧上一点、若AB＝2、OH＝1、则∠APB＝________.遇直径巧加直径所对的圆周角7．如图、在△ABC中、AB＝BC＝2、以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E、且点D是BC

4、的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形．(2)求DE的长．(第7题)遇切线巧作过切点的半径8．如图、⊙O是Rt△ABC的外接圆、∠ABC＝90°、点P是圆外一点、PA切⊙O于点A、且PA＝PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)已知PA＝、∠ACB＝60°、求⊙O的半径．(第8题)巧添辅助线计算阴影部分的面积[来源:Zxxk.Com]9．【中考·自贡】如图、点B、C、D都在⊙O上、过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A、连接CD、且∠CDB＝∠OBD＝30°、DB＝6cm.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求由弦C

5、D、BD与所围成的阴影部分的面积(结果保留π)．【导学号：89274011】(第9题)答案1．解：如图、连接OA、OF.设OA＝OF＝rcm、AB＝acm.(第1题)在Rt△OAB中、r2＝＋a2、在Rt△OEF中、r2＝42＋、∴＋a2＝16＋16＋4a＋.解得a1＝8、a2＝－4(舍去)．∴r2＝＋82＝80.∴r1＝4、r2＝－4(舍去)．即该半圆的半径为4cm.点拨：在有关圆的计算题中、求角度或边长时、常连接半径构造等腰三角形或直角三角形、利用特殊三角形的性质来解决问题．2．证明：如图、连接AD、BD.∵∠DAC

6、、∠DBC都是所对的圆周角．∴∠DAC＝∠DBC.∵CD平分∠ACM、DP⊥AC、DH⊥CM、∴DP＝DH.在△ADP和△BDH中、∴△ADP≌△BDH.∴AP＝BH.点拨：本题通过作辅助线构造圆周角、然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠DAC＝∠DBC、为证两三角形全等创造了条件．(第2题)3．(1)证明：如图、过点D作⊙O的直径DE、连接AE、EC、AC.(第3题)∵DE是⊙O的直径、∴∠ECD＝∠EAD＝90°.又∵CD⊥AB、∴EC∥AB.∴∠BAC＝∠ACE.∴＝.∴BC＝AE.在Rt△AED中、AD2＋AE

7、2＝DE2、∴AD2＋BC2＝4R2.(2)解：如图、过点O作OF⊥AD于点F.∵弦AD、BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)、[来源:学§科§网Z§X§X§K]∴AD＝5、BC＝1.由(1)知、AD2＋BC2＝4R2、∴52＋12＝4R2.∴R＝.∵∠EAD＝90°、OF⊥AD、∴OF∥EA.又∵O为DE的中点、∴OF＝AE＝BC＝、即点O到AD的距离为.点拨：本题作出直径DE、利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形、给解题带来了方便．4．解：CD与⊙O相切、理由如下：如图、作⊙O的直径C

8、E、连接AE.(第4题)∵CE是⊙O的直径、∴∠EAC＝90°.∴∠E＋∠ACE＝90°.∵CA＝CB、∴∠B＝∠CAB.∵AB∥CD、∴∠ACD＝∠CAB.∴∠B＝∠ACD.又∵∠B＝∠E、∴∠ACD＝∠E.∴∠ACE＋∠ACD＝90°、即OC⊥DC.又∵OC为⊙O的半径、∴CD与⊙O相切．5．C　6.60°(第7