【冀教版】2020年春季 九年级数学下册微卷专训：阶段方法技巧训练 专训2　圆中常用的作辅助线的八种方法 (2).doc

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1、专训2　圆中常用的作辅助线的八种方法名师点金：在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及“作垂直，证半径”等．作半径，巧用同圆的半径相等1．如图，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上．若小正方形的边长为4cm，求该半圆的半径．(第1题)连

2、接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等2．如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM，垂足为H.求证：AP＝BH.(第2题)作直径，巧用直径所对的圆周角是直角3．如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直，连接AD，BC.(1)求证：AD2＋BC2＝4R2；(2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离．(第3题)证切线时辅助线作法的应用4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D.判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．(第4题)遇弦加

3、弦心距或半径5．如图，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为(　　)A．3B．4C．3D．4(第5题)　　　　　(第6题)6．【中考·贵港】如图，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝2，OH＝1，则∠APB＝________.遇直径巧加直径所对的圆周角7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D是BC的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形．(2)求DE的长．(第7题)遇切线巧作过切点的半径8．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，点

4、P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA＝PB.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)已知PA＝，∠ACB＝60°，求⊙O的半径．(第8题)巧添辅助线计算阴影部分的面积[来源:Zxxk.Com]9．【中考·自贡】如图，点B，C，D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，且∠CDB＝∠OBD＝30°，DB＝6cm.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求由弦CD，BD与所围成的阴影部分的面积(结果保留π)．【导学号：89274011】(第9题)答案1．解：如图，连接OA，OF.设OA＝OF＝rcm，AB＝acm.(第1题)在Rt△OAB中，r2＝＋a2，在

5、Rt△OEF中，r2＝42＋，∴＋a2＝16＋16＋4a＋.解得a1＝8，a2＝－4(舍去)．∴r2＝＋82＝80.∴r1＝4，r2＝－4(舍去)．即该半圆的半径为4cm.点拨：在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题．2．证明：如图，连接AD，BD.∵∠DAC，∠DBC都是所对的圆周角．∴∠DAC＝∠DBC.∵CD平分∠ACM，DP⊥AC，DH⊥CM，∴DP＝DH.在△ADP和△BDH中，∴△ADP≌△BDH.∴AP＝BH.点拨：本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠DAC＝∠

6、DBC，为证两三角形全等创造了条件．(第2题)3．(1)证明：如图，过点D作⊙O的直径DE，连接AE，EC，AC.(第3题)∵DE是⊙O的直径，∴∠ECD＝∠EAD＝90°.又∵CD⊥AB，∴EC∥AB.∴∠BAC＝∠ACE.∴＝.∴BC＝AE.在Rt△AED中，AD2＋AE2＝DE2，∴AD2＋BC2＝4R2.(2)解：如图，过点O作OF⊥AD于点F.∵弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根(AD>BC)，[来源:学§科§网Z§X§X§K]∴AD＝5，BC＝1.由(1)知，AD2＋BC2＝4R2，∴52＋12＝4R2.∴R＝.∵∠EAD＝90°，OF⊥AD，

7、∴OF∥EA.又∵O为DE的中点，∴OF＝AE＝BC＝，即点O到AD的距离为.点拨：本题作出直径DE，利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带来了方便．4．解：CD与⊙O相切，理由如下：如图，作⊙O的直径CE，连接AE.(第4题)∵CE是⊙O的直径，∴∠EAC＝90°.∴∠E＋∠ACE＝90°.∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.∴∠B＝∠ACD.又∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E.∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC.又∵OC为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．5．C　6.60°(第7