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1、数学竟赛培训资料(理工)第六讲曲线积分（一）内容要点及重要方法提示1.第一型(对弧长)曲线积分.弧微分dsdx2dy2dz2dl.注意无方向问题,一般计算程序:画出积分路径的图形;将路径用参数式表示;表dl为参变量的微分式后化成定积分计算.(1)化成参变量的定积分计算.例6.1.设c>0为常数x2y2cz,L:y.求L上从原点到点A(x0,y0,z0)的弧长.xtanczz,sinz,,弧微分d2zcd,因此所求弧长解.L的参数方程是:cosxczcyczczzs4czzz02z0）（sdscz013c.0
2、例6.2.计算均匀密度的球面x2y2z2a2(a0)在第一卦限部分的边界曲线的重心坐标.解.边界曲线的三段弧分别有参数方程:x=acosθ,y=asinθ,z=0,0≤θ≤π∕2;x=acosφ,y=0,z=asinφ,0≤φ≤π∕2;x=0,y=acosφ,z=asinφ,0≤φ≤π∕2.2曲线周长s=3aπ∕2,及sx0(2)第一型曲线积分的对称性用法acosad2acosad,于是重心坐标xyz34a.0.例6.3.计算积分I=d,其中:(22)22(22),a>0.ylLxyaxyL解.用极坐标,
3、L:r4a2r2(cos2sin2)r2a2cos2.根据对称性得积分I=44r2[r()]2d4a2(122).rsin0例6.4.设L是顺时针方向椭圆x2y21,周长为l,则(xyx22)ds=.(2001天津赛)44yL2y21x24y24,根据对称性得积分=4l.解.x42.第二型(对坐标)曲线积分.PdxQdyRdzFdlCC注意有方向问题,一般计算方法有:化成参变量的定积分计算;应用格林公式或斯托克斯公式;利用与路径无关条件计算.(1)化成参变量的定积分计算.例6.5.设L为正向圆周x2y22在
4、第一象限中的部分,则曲线积分xdy2ydx=.L解.L:x2cos,y2sin,:02.于是有积分=3π∕2.例6.6.设C是从球面x2y2z2a2上任一点到球面x2y2z2b2上任一点的任一光1/5滑曲线(a>0,b>0),计算积分I=r3(xdxydyzdz),其中rx2y2z2.Lb3rdr51(b5a5).解.rdr=xdx+ydy+zdz,I=ra(2)格林公式的应用(注意条件).当L不闭合时,应添加光滑曲线使其闭合后再用格林公式.例6.7.设L是分段光滑的简单闭曲线,(2,0)、(2,0)两点不
5、在L上.试就L的不同情形分别计算如下曲线积分的值:[y22y2]d[2x22x2]d.(1991上海竞赛)222IL(2x)y(2x)yx(2x)y(2x)yy解.令A(2,0),B(2,0),L包围的平面区域内部为D,记GDL,P1y,P2y2x,Q2(2x),PP1P2,QQ1Q2.(2x)2y2(2x)2y2,Q1(2x)2y2(2x)2y2P(2x)2y2Q1,P(2x)2y2Q2.则1[(2x)2y2]2x22y2]2yy[(2x)x、B均为G的外点,根据格林公式有I=0.(1)A(2)A为G的内
6、点,B为G的外点,则以A为中心作半径r充分小的闭圆盘E含于D内,记E的正向边界为C,有I=CC(QxyP)dCPdxQdy0P1dxQ1dyP2dxQ2dyLDECC=P1dxQ1dy,且C:x=2+rcosθ,y=rsinθ,0≤θ<2π,于是有I=2π.C(3)A为G的外点,B为G的内点,同理可得I=2π.(4)A、B均为G的内点,与(2)相仿,在D内分别以A、B为中心作半径r充分小的闭圆盘使它们的并集含于D内,仍用格林公式可得I=4π.(3)积分与路径无关的问题.例6.8.设函数f(x)在(∞,+∞)
7、内具有连续导数,求积分C1y2f(xy)dxx2[y2f(xy)1]d,其中Cyyy是从点A(3,2∕3)到点B(1,2)的直线段.(1994北京竞赛)解.积分与路径无关,因此积分为1222223[1943f(32x)]dx212[yf(y)1]dy33f(u)du2f(y)dy14.y233(4)求原函数问题.例6.9.设函数Q(x,y)在xOy平面上具有连续一阶骗导数,曲线积分xyxQxyy与路径无2d(,)dL关,并且对任意的t恒有(t,1)(1,t)2xyxQxyyxyxQxyyd(,)d(0,0)
8、2d(,)d,求Q(x,y).(2001天津)(0,0)解.因积分与路径无关,有Q(2xy)2,(,)2(),其中C(y)为待定函数.又xyxQxyxCy(t,1)Q(x,y)dy1C(y)]dyt212xydx[t2C(y)dy,(0,0)00(1,t)Q(x,y)dytC(y)]dyttC(y)dy,对t21tt2xydx[1C(y)dyC(y)dy的(0,0)0000两边关于t求导得2t=1+C(t),由此
