数学竟赛培训资料(理工).doc

《数学竟赛培训资料(理工).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、数学竟赛培训资料(理工)第六讲曲线积分（一）内容要点及重要方法提示1.第一型(对弧长)曲线积分.弧微分.注意无方向问题,一般计算程序:画出积分路径的图形;将路径用参数式表示;表dl为参变量的微分式后化成定积分计算.(1)化成参变量的定积分计算.例6.1.设c>0为常数,L:的弧长.解.L的参数方程是:因此所求弧长.例6.2.计算均匀密度的球面在第一卦限部分的边界曲线的重心坐标.解.边界曲线的三段弧分别有参数方程:x=acosθ,y=asinθ,z=0,0≤θ≤π∕2;x=acosφ,y=0,z=asinφ,0≤φ≤π∕2;x=0,y=acosφ,z=

2、asinφ,0≤φ≤π∕2.曲线周长s=3aπ∕2,及(2)第一型曲线积分的对称性用法.例6.3.计算积分I=a>0.解.用极坐标,L:.根据对称性得积分I=4.例6.4.设L是顺时针方向椭圆=.(2001天津赛)解.根据对称性得积分=4l.2.第二型(对坐标)曲线积分.注意有方向问题,一般计算方法有:化成参变量的定积分计算;应用格林公式或斯托克斯公式;利用与路径无关条件计算.(1)化成参变量的定积分计算.例6.5.设L为正向圆周=.解.L:于是有积分=3π∕2.例6.6.设C是从球面上任一点的任一光滑曲线(a>0,b>0),计算积分I=,其中.解.

3、rdr=xdx+ydy+zdz,I=.(2)格林公式的应用(注意条件).当L不闭合时,应添加光滑曲线使其闭合后再用格林公式.例6.7.设L是分段光滑的简单闭曲线,(2,0)、(-2,0)两点不在L上.试就L的不同情形分别计算如下曲线积分的值:(1991上海竞赛)解.令A(2,0),B(-2,0),L包围的平面区域内部为D,记.则(1)A、B均为G的外点,根据格林公式有I=0.(2)A为G的内点,B为G的外点,则以A为中心作半径r充分小的闭圆盘E含于D内,记E的正向边界为C,有I==且C:x=2+rcosθ,y=rsinθ,0≤θ<2π,于是有I=-2

4、π.(3)A为G的外点,B为G的内点,同理可得I=-2π.(4)A、B均为G的内点,与(2)相仿,在D内分别以A、B为中心作半径r充分小的闭圆盘使它们的并集含于D内,仍用格林公式可得I=-4π.(3)积分与路径无关的问题.例6.8.设函数f(x)在(-∞,+∞)内具有连续导数,求积分其中C是从点A(3,2∕3)到点B(1,2)的直线段.(1994北京竞赛)解.积分与路径无关,因此积分为(4)求原函数问题.例6.9.设函数Q(x,y)在xOy平面上具有连续一阶骗导数,曲线积分与路径无关,并且对任意的t恒有求Q(x,y).(2001天津)解.因积分与路径

5、无关,有其中C(y)为待定函数.又的两边关于t求导得2t=1+C(t),由此推出例6.10.确定常数λ,使在右半平面x>0上的向量A(x,y)=2xyj为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y).(1998研)解.令P(x,y)=2xy解得λ=-1.然后有u(x,y)=(5)曲线积分的证明题.例6.11.设P(x,y),Q(x,y)具有连续的偏导数,且对以任意点为圆心,以任意正数r为半径的上半圆L:证明:(2004天津竞赛)证.记上半圆直径为AB,取AB+L为逆时针方向,其包围的区域为D,由格林公式与积分中值定理M∈D,且于是的任意性知P(x,

6、y)≡0,且例6.12.设函数φ(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有(2)求函数φ(y)的表达式.(2005研)解.(1)设C是半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线,在C上任取两点M、N,围绕原点作闭曲线(如图)进行积分即得证明.(2)由(1),在半平面x>0内积分与路径无关,得例6.13.设在上半平面D={(x,y)

7、y>0}内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意的t>0都有f(tx,ty)=证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲

8、线L,都有(2006研)证.又f(tx,ty)=对t求导后,令t=1,即可得结果.3.曲线积分的应用题.例6.14.若悬链线上每一点的密度与该点的纵坐标成反比,且在点(0,a)的密度等于b.试求曲线在横坐标0到a的点之间弧段C的质量m.解.由条件知曲线上点(x,y)处的密度为ab∕y,于是m=例6.15.质点P在力F作用下从点A(1,2)沿着直径AB的半圆周(见图)运动到B(3,4),F的大小等于点P(x,y)与原点间的距离,方向垂直于线段OP且与y轴正向夹角为锐角.求变力F所作的功W.解.F=-yi+xj,令L是所述AB弧:于是W=4.两类曲线积分

9、的联系.其中cosα,cosβ,cosγ为有向曲线L的正向切线的方向余弦.（二）习题6.1.填空题:设当x®