高中数学竟赛试题.docx

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1、高中数学竟赛试题一、选择题（本大题共10个小题，每个小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．已知M(x,y)yx21,xR，N(x,y)yx21,xR，则MN（C）A．1B．0,1C．(0,1)D．12．已知函数yf(x)的定义域为[1,4]，则在同一坐标系中函数yf(x)的图象与直线x1的交点个数为（B）A．0B．1C．2D．0或1均有可能3．若函数yx22(x2)，则当函数值y8时，自变量x的值是（D）2x(x2)A．6B．4C．6或4D．4或64．f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)0，则方程f(x)0在区间(0,6)内解的个数的最

2、小值是（C）A．2B．3C．4D．55yx22x3在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（C）．函数A．(,2]B．[0,2]C．[1,2]D．[1,)6．已知实数a，b满足ab1，设P11，Q1ab，则P、Q之间的1a1ba1bB）关系为（A．PQB．PQC．PQD．无法确定7．设n为正整数，x(11)n，y(11)n1，则（C）nnA．xyyxB．xyyxC．xyyxD．以上都有可能8．已知Z为整数集，集合Axx3,xZ，Bxx211x50,xZ，Cx2x211x103x2,xZ，则ABCZ(C)=（D）A．3B．4C．5D．3,4,59．与圆(xa)2(yb)24(

3、a2b2)，圆(xa)2(yb)24(a2b2)都相切且半径为a2b2的圆有（C）A．2个B．3个C．5个D．7个10n1n2n100的最小值是（A）．设n为正整数，则A．2500B．4950C．5050D．5150二、填空题（本大题4个小题，每小题6分，共24分，请将正确的答案填在横线上。）11．若方程x26x10的两根分别为x1、x2，则x1x22。12．方程1x12x5的解为3，8。13．设2012a32013b32014c3，abc0，且32012a22013b22014c2=320123201332014，则1111。abc14．已知二次函数f(x)满足条件f(0)1，f(x1)f

4、(x)2x，则f(x)的解析式为f(x)=x2x1。三、解答题（本大题5个小题，共66分，要求解答有必要的过程）15．（本小题满分12分）已知x12013，试求多项式(4x38x22008x2011)2013的值。2解：由x12013，得2x120132两边平方，并整理得4x24x20120。又4x3822008x2011(x1)(4x24x2012)11，x所以(4x38x22008x2011)2013(1)20131。16．（本小题满分12分）设x0，y0，3x2y6，试求xy的最大值。解：63x2y26xyxy3(x0,y0)，23x2y6x13时取等号。当且仅当3x2y即y23所以(

5、xy)max。217ABC中，BC2,ABAC3，中线AD的长为y，AB的长为x，试建立y与x．的函数解析式，并求其定义域。解：依题意有(2AD)2BC22(AB2AC2)，即(2y)2222(x2(3x)2)，整理得yx23x7。2x03x0x满足xy1，解得1x5。x1y22y1x故yx27（1x53x2）。2218．ABC的三边长分别为BC17,CA18,AB19，过ABC内的P点向ABC的三条边BC、CA、AB分别作垂线段PD、PE、PF，且BDCEAF27，求BDBF的长度。解：令BDx,CEy,AFz，则xyz27①x2PD2(19z)2PF2又z2PF2(18y)2PE2y2P

6、E2(17x)2PD2三式相加并整理，得17x17y19z487②联立①②解得zx1，所以BDBFx19z19(zx)18。19．给定两个正整数m，n，若正整数k使得存在一个以log2m，log2n和log2k为边长的三角形，我们便称k为“三角形好数”。现知恰存在100个三角形好数，试求mn的最大的可能值。解：不妨设mn，则log2mlog2nklog2mlog2nmnkmn又恰有100个三角形好数，则这些数必为mn1,mn2,mn3,,mn100。mmn100所以n，即100mn(11)101100mn101，mn211mn101n11n2n2易知n2时，101取最大值404，此时400

7、mn404。13331n2故当m67,n2时，(mn)max134。