2020版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第5章数列 5.4 数列求和 Word版含解析..pdf

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1、5.4数列求和[知识梳理]1．基本数列求和公式法(1)等差数列求和公式：na＋ann－1S＝1n＝na＋d.n212(2)等比数列求和公式：na，q＝1，1S＝a－aqa1－qnn1n＝1，q≠1.1－q1－q2．非基本数列求和常用方法(1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；(4)错位相减法；(5)裂项相消法．常见的裂项公式：1111①＝－；nn＋kknn＋k1111②＝－；2n－12n＋122n－12n＋11111③＝－；nn＋1n＋22nn＋1n＋1n＋211④＝(n＋k

2、－n)．n＋n＋kk3．常用求和公式nn＋1(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝；2(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2；nn＋12n＋1(3)12＋22＋32＋…＋n2＝；6nn＋1(4)13＋23＋33＋…＋n3＝2.2[诊断自测]1．概念辨析1111(1)已知等差数列{a}的公差为d，则有＝－.()naadanann＋1n＋1(2)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.()(3)求S＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式

3、等号两边同时乘以na即可根据错位相减法求得．()(4)若数列a，a－a，…，a－a是(n>1，n∈N*)首项为1，公121nn－13n－1比为3的等比数列，则数列{a}的通项公式是a＝.()nn2答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．教材衍化1(1)(必修A5PT)数列{a}中，a＝，若{a}的前n项和474nnnn＋1n2017为，则项数n为()2018A．2014B．2015C．2016D．2017答案D111n2017解析a＝－，S＝1－＝，又前n项和为，nnn＋1nn＋1n＋12018所以n＝2017.故选D.1111(2)(必修A5PT)已知数列：1，2，3

4、，…，n＋，…，则6142482n其前n项和关于n的表达式为________．nn＋11答案＋1－22n解析将通项式分组转化为等差与等比两数列分别求和，即Sn111nn＋11＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＋＋…＋＝＋1－.2222n22n3．小题热身nπ(1)数列{a}的通项公式为a＝ncos，其前n项和为S，则Snn2n2018等于()A．－1010B．2018C．505D．1010答案Aπ解析易知a＝cos＝0，a＝2cosπ＝－2，a＝0，a＝4，….12234所以数列{a}的所有奇数项为0，前2016项中所有偶数项(共1008n项)依次为－2,4

5、，－6,8，…，－2014,2016.故S＝0＋(－2＋4)＋(－20162018π6＋8)＋…＋(－2014＋2016)＝1008.a＝0，a＝2018×cos＝201720182－2018，∴S＝S＋a＝1008－2018＝－1010.故选A.201820162018(2)设S是数列{a}的前n项和，且a＝－1，a＝SS，则Snn1n＋1nn＋1n＝________.1答案－n解析∵a＝S－S，∴S－S＝SS，又由a＝－1，知n＋1n＋1nn＋1nn＋1n111111S≠0，∴－＝1，∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝nSSSSann＋1n1111－1，∴＝－1

6、＋(n－1)×(－1)＝－n，∴S＝－.Snnn题型1错位相减法求和已知数列{a}的前n项和S＝3n2＋8n，{b}是等差数列，典例nnn且a＝b＋b.nnn＋1(1)求数列{b}的通项公式；na＋1n＋1(2)令c＝n，求数列{c}的前n项和T.nb＋2nnnn利用a＝S－S(n≥2)、方程nnn－1思想、错位相减法．解(1)由题意知，当n≥2时，a＝S－S＝6n＋5.nnn－1当n＝1时，a＝S＝11，所以a＝6n＋5.11n设数列{b}的公差为d.na＝b＋b，11＝2b＋d，1121由即a＝b＋b，17＝2b＋3d，2231可解得b＝4，d＝

7、3，所以b＝3n＋1.1n6n＋6n＋1(2)由(1)知c＝＝3(n＋1)·2n＋1.n3n＋3n又T＝c＋c＋…＋c，n12n得T＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，n2T＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，n两式作差，得－T＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]n41－2n＝3×4＋－n＋1×2n＋2＝－3n·2n＋2，所以T＝3n·2n＋2.1－2n方法技巧利用错位相减法的一般类型及思路1．