2020版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第5章数列 5.3 等比数列及其前n项和 Word版含解析..pdf

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1、5．3等比数列及其前n项和[知识梳理]1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的a公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：n＝q(n≥2)，an－1q为常数，q≠0.(2)等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab.2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{a}的首项为a，公比是q，则其通项公式为an1n＝aqn－1；可推广为a＝aq

2、n－m.1nm(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S＝na；当q≠1时，n1a1－qna－aqS＝1＝1n.n1－q1－q3．等比数列的相关性质设数列{a}是等比数列，S是其前n项和．nn(1)若m＋n＝p＋q，则aa＝aa，其中m，n，p，q∈N*.mnpq特别地，若2s＝p＋r，则aa＝a2，其中p，s，r∈N*.prs(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a，a，akk＋mk＋，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．2m(3)若数列{a}，{b}是两个项数相同的等比数列，则数列{ba}，nnnpa{pa·qb}和n

3、(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列．nnqbn(4)S＝S＋qnS＝S＋qmS.m＋nnmmn(5)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，S，S－S，S－S，…k2kk3k2k是等比数列，公比为qk.当q＝－1且k为偶数时，S，S－S，S－k2kk3kS，…不是等比数列．2kTT(6)若a·a·…·a＝T，则T，2n，3n，…成等比数列．12nnnTTn2nSS－a(7)若数列{a}的项数为2n，则偶＝q；若项数为2n＋1，则奇1nSS奇偶＝q.[诊断自测]1．概念思辨(1)如果{a}为等比数列，b＝a＋a，则数列{b}也是等比数nn2n－1

4、2nn列．()(2)如果数列{a}为等比数列，则数列{lna}是等差数列．()nn(3)在等比数列{a}中，如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，那么a·anmn＝a2.()k(4)数列{a}的通项公式是a＝an，则其前n项和为S＝nnna1－an.()1－a答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．教材衍化(1)(必修A5PT)若等比数列{a}满足a＋a＝20，a＋a＝40，531n1324则公比q＝()A．1B．2C．－2D．4答案Ba＋aq2＝20，a＝4，111解析由题意，得解得aq＋aq3＝40，q＝2.11故选B.(

5、2)(必修A5P例1)设{a}是公比为正数的等比数列，若a＝1，56n1a＝16，则数列{a}的前7项和为________．5n答案127解析a＝aq4得q＝2，511－27所以S＝＝127.71－23．小题热身(1)(2018·华师一附中联考)在等比数列{a}中，aaa＝8，a＝8，n2347则a＝()1A．1B．±1C．2D．±2答案A解析因为数列{a}是等比数列，所以aaa＝a3＝8，所以an23433a＝2，所以a＝aq4＝2q4＝8，所以q2＝2，a＝3＝1.故选A.731q2(2)(2018·安徽芜湖联考)在等比数列{a}中，a＝7，前3

6、项之和n3S＝21，则公比q的值为()31A．1B．－211C．1或－D．－1或22答案Caq2＝7，①1解析根据已知条件得②÷①得a＋aq＋aq2＝21，②1111＋q＋q21＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.故选C.q22题型1等比数列基本量的运算(2017·广东惠州第二次调研)已知{a}为等比数列，a典例1n4＋a＝2，aa＝－8，则a＋a＝()756110A．7B．5C．－5D．－7方程组法．答案Da＋a＝2，47解析由aa＝aa，得aa＝－8，解得a＝4，564747aa＝－8447a＝－2或a＝－2，

7、a＝4，7471∴q3＝－或q3＝－2.21a当q3＝－时，a＋a＝4＋aq62110q3441＝＋4×－2＝－7；12－2a当q3＝－2时，a＋a＝4＋aq6110q34－2＝＋(－2)·(－2)2＝－7.故选D.－2典例2(2017·金凤区四模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S＝10，S＝50，则S等于()51020A．90B．250C．210D．850方程思想即“知三求二”．答案D解析由题意数列的公比q≠1，设首项为a，则1∵S＝10，S＝50，510a1－q5a1－q10∴1＝10，1＝50，1－q1－q∴两式相除

8、可得1＋q5＝5，∴q5＝4，a10∴1＝－，1－q3a1－q2010∴S＝1＝－·(1－256)＝85