2020版高考数学(理)高分计划一轮高分讲义：第5章 数列 5.2 等差数列及其前n项和 Word版含解析..pdf

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1、5．2等差数列及其前n项和[知识梳理]1．等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为an＋1－a＝d(n∈N*)，d为常数．na＋b(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，2其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{a}的首项是a，公差是d，则其通项公式为an1n＝a＋(n－1)d，可推广为a＝a＋(n－m)d.1nmna＋ann－1(2)等差数列的前n项和公式S＝

2、1n＝na＋d.n2123．等差数列的相关性质已知{a}为等差数列，d为公差，S为该数列的前n项和．nn(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即a1＋a＝a＋a＝a＋a＝…＝a＋a＝….n2n－13n－2kn－k＋1(2)等差数列{a}中，当m＋n＝p＋q时，a＋a＝a＋a(m，n，p，nmnpqq∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2a＝a＋a(m，n，p∈N*)．pmn(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a，a，a，…kk＋mk＋2m仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．(4)S，S－S，S－S，…也成等差数列，公差为n2d.n2nn3n2nS

3、(5)n也成等差数列，其首项与{a}首项相同，公差是{a}的公nnn1差的.24．等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系a＝a＋(n－1)d可化为a＝dn＋a－d的形式．当d≠0时，an1n1n是关于n的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．dd(2)等差数列前n项和公式可变形为S＝n2＋a－n.当d≠0时，n212它是关于n的二次函数，数列{a}是等差数列S＝An2＋Bn(A，B为nn常数)．5．等差数列的前n项和的最值在等差数列{a}中，a>0，d<0，则S存在最大值；若a<0，d>0，n1n1则S存在最小值．n

4、[诊断自测]1．概念思辨(1)已知数列{a}的通项公式是a＝pn＋q(其中p，q为常数)，则nn数列{a}一定是等差数列．()n(2)数列{a}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函n数．()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．()(4)数列{a}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2ann＋1＝a＋a.()nn＋2答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．教材衍化(1)(必修A5P例1(1))已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列38的第100项为________．答案487解析由条件易知该等差数列的首项为a＝－8，公差d＝5，得1a＝－8＋(

5、n－1)×5＝5n－13，故a＝487.(2)(必修A5PA组T)在n100688等差数列{a}中，若a＋a＋a＋a＋a＝450，则a＋a＝________.n3456728答案180解析由等差数列的性质，得a＋a＋a＋a＋a＝5a＝450，345675∴a＝90，∴a＋a＝2a＝180.52853．小题热身(1)(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a}前9项的和为27，a＝8，n10则a＝()100A．100B．99C．98D．97答案C解析设{a}的公差为d，由等差数列前n项和公式及通项公式，n9×8S＝9a＋d＝27，a＝－1，得912解得1d＝1，a＝a＋9d＝8，10

6、1a＝a＋(n－1)d＝n－2，∴a＝100－2＝98.故选C.(2)(2017·福n1100建宁德一模)若数列{a}为等差数列，S为其前n项和，且a＝3a－6，nn24则S等于()9A．54B．50C．27D．25答案C解析数列{a}为等差数列，设公差为d，则a＝a＋2d，∴an422＝3(a＋2d)－6，∴2a＋6d－6＝0.∴a＋3d＝3，即a＝3，那么S22259a＋a×9＝19＝9×a＝27.故选C.25题型1等差数列基本量的运算1典例1(2017·广东惠州调研)设{an}是首项为－2，公差为d(d≠0)的等差数列，S为其前n项和，若S，S，S成等比数列，则n124d

7、＝()111A．－1B．－C.D.282方程思想方法．答案Ann－1解析S＝na＋d，因为S，S，S成等比数列，所以S·Sn1212414＝S2，21即a(4a＋6d)＝(2a＋d)2，因为a＝－，111121所以－(－2＋6d)＝(－1＋d)2，2即d2＋d＝0，解得d＝0或d＝－1.又因为d≠0，所以d＝－1.故选A.典例2(2017·碑林区期末)设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项a＝________.1方程思想，注意设中间项．答案2解析由题可知