2019版高考数学一轮复习第5章数列5.3等比数列及其前n项和学案文

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1、5．3　等比数列及其前n项和[知识梳理]1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．数学语言表达式：＝q(n≥2)，q为常数，q≠0.(2)等比中项如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝ab.2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；可推广为an＝amqn－m.(2)等比数

2、列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.3．等比数列的相关性质设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列．(4)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.(5

3、)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列，公比为qk.当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列．(6)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．(7)若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.[诊断自测]1．概念思辨(1)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)(2)如果数列{an}为等比数列，则数列{lnan}是等差数列．(　　)(3)在等比数列{an}中，如果m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，那么am·an

4、＝a.(　　)(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．教材衍化(1)(必修A5P53T1)若等比数列{an}满足a1＋a3＝20，a2＋a4＝40，则公比q＝(　　)A．1B．2C．－2D．4答案　B解析　由题意，得解得故选B.(2)(必修A5P56例1)设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为________．答案　127解析　a5＝a1q4得q＝2，所以S7＝＝127.3．小题热身(1)(2018·华师一附中联考)在等比数列{an}中，a2

5、a3a4＝8，a7＝8，则a1＝(　　)A．1B．±1C．2D．±2答案　A解析　因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，a1＝＝1.故选A.(2)(2018·安徽芜湖联考)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为(　　)A．1B．－C．1或－D．－1或答案　C解析　根据已知条件得②÷①得＝3.整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.故选C.题型1　等比数列基本量的运算　　(2017·广东惠州第二次调研)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，

6、则a1＋a10＝(　　)A．7B．5C．－5D．－7方程组法．答案　D解析　由a5a6＝a4a7，得a4a7＝－8，解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，∴q3＝－或q3＝－2.当q3＝－时，a1＋a10＝＋a4q6＝＋4×2＝－7；当q3＝－2时，a1＋a10＝＋a4q6＝＋(－2)·(－2)2＝－7.故选D.　　(2017·金凤区四模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝10，S10＝50，则S20等于(　　)A．90B．250C．210D．850方程思想即“知三求二”．答案　D解析　由题意数列的公比q≠1，设首项为a1，则∵S5＝10，S10

7、＝50，∴＝10，＝50，∴两式相除可得1＋q5＝5，∴q5＝4，∴＝－，∴S20＝＝－·(1－256)＝850.故选D.方法技巧等比数列的基本运算方法及数学思想1．等比数列的基本运算方法(1)对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出第三个条件就可以完成an，a1，q，n，Sn的“知三求二”问题．(2)对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，，x，xq，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，，，xq，xq3，…(注意：此时公比q2>0，并不适合所有情况)这样即可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便．2．基本