2019版高考数学一轮复习第5章数列5.4数列求和学案文

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1、5.4　数列求和[知识梳理]1．基本数列求和公式法(1)等差数列求和公式：Sn＝＝na1＋d.(2)等比数列求和公式：Sn＝2．非基本数列求和常用方法(1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；(4)错位相减法；(5)裂项相消法．常见的裂项公式：①＝；②＝；③＝；④＝(－)．3．常用求和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝；(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2；(3)12＋22＋32＋…＋n2＝；(4)13＋23＋33＋…＋n3＝2.[诊断自测]1．概念辨析(1)已知等差数列{an}的公差为d，则有＝.(　　)(2)推导

2、等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　　)(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　　)(4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是(n>1，n∈N*)首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝.(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．教材衍化(1)(必修A5P47T4)数列{an}中，an＝，

3、若{an}的前n项和为，则项数n为(　　)A．2014B．2015C．2016D．2017答案　D解析　an＝－，Sn＝1－＝，又前n项和为，所以n＝2017.故选D.(2)(必修A5P61T4)已知数列：1，2，3，…，，…，则其前n项和关于n的表达式为________．答案　＋1－解析　将通项式分组转化为等差与等比两数列分别求和，即Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＝＋1－.3．小题热身(1)数列{an}的通项公式为an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2018等于(　　)A．－1010B．2018C．505D．1010答案　A解析　易

4、知a1＝cos＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，….所以数列{an}的所有奇数项为0，前2016项中所有偶数项(共1008项)依次为－2,4，－6,8，…，－2014,2016.故S2016＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2014＋2016)＝1008.a2017＝0，a2018＝2018×cos＝－2018，∴S2018＝S2016＋a2018＝1008－2018＝－1010.故选A.(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.答案　－解析　∵an＋1

5、＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，又由a1＝－1，知Sn≠0，∴－＝1，∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝－1，∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.题型1　错位相减法求和　　已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)、方程思想、错位相减法．解　(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.当n＝1时，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5

6、.设数列{bn}的公差为d.由即可解得b1＝4，d＝3，所以bn＝3n＋1.(2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1.又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2.方法技巧利用错位相减法的一般类型及思路1．适用的数列类型：{anbn}，其中数列{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q

7、≠1的等比数列．2．思路：设Sn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，(*)则qSn＝a1b2＋a2b3＋…＋an－1bn＋anbn＋1，(**)(*)－(**)得：(1－q)Sn＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1，就转化为根据公式可求的和．提醒：用错位相减法求和时容易出现以下两点错误：(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n－1项和当作n项和．冲关针对训练已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1b

8、n＝0.(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.解　(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0(bn≠0，n∈N*)，所以－＝2，即cn