高考数学一轮复习第五章数列5.4数列求和学案（含解析）

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1、数列求和【考纲传真】1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．　2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．　3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.【知识扫描】知识点　数列求和的常见方法1．公式法；直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝2．倒序相加法；如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒

2、序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法；如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法．4．裂项相消法；(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)裂项时常用的三种变形：①＝－；②＝；③＝－.5．分组求和法；一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．6．并项求和法；一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为

3、并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.1．必会结论；常用求和公式3前n个正整数之和1＋2＋…＋n＝前n个正奇数之和1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2前n个正整数的平方和12＋22＋…＋n2＝前n个正整数的立方和13＋23＋…＋n3＝22.必知联系；(1)直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨

4、论．(2)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an＋1的式子应进行合并．(3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．【学情自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　　)(2)当n≥2时，＝.(　　)(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　　)(4)如果数列{an}是周期为k(k

5、为大于1的正整数)的周期数列，那么Skm＝mSk.(　　)2．数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数为(　　)A．2014　　　　　　　　B．2015C．2016D．20173．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　)A.　　　　　　　　B.C.D．n2＋n4．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S2016＝________.5．(2014·安徽高考)数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an

6、＋n(n＋1)，n∈N*.(1)证明：数列是等差数列；(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn.3参考答案1.【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√2.【解析】　an＝＝－，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝.令＝，得n＝2015.【答案】　B3.【解析】　设等差数列公差为d，则a1＝2.a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.又∵a1，a3，a6成等比数列，∴a＝a1·a6.即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d2－d＝0.∵d≠0，∴d＝.∴Sn＝na1＋d＝＋n.【答案】　A

7、4.【解析】　S2016＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋2015－2016＝(－1)×1008＝－1008.【答案】　－10085.【解】　(1)证明：由已知可得＝＋1，即－＝1，所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.从而bn＝n·3n.Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，①3Sn＝1×32＋2×33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1，②①－②得，－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝，所以Sn＝.3