2015届高考理科数学一轮-第五章　数列复习题解析5.4数列求和

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1、第4课时　数列求和1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．　　　　　　　　　　[对应学生用书P88]【梳理自测】1．(教材改编)等比数列{an}的公比q＝，a8＝1，则S8＝(　　)A．254　　　　　　　　　B．255C．256D．2572．如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为3的等比数列，则an等于(　　)A.B.C.D.3．数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋

2、a10的值为(　　)A．31B．120C．130D．1854．(教材改编)数列1，，，…的前n项和Sn＝________.5．数列{(－1)n·n}的前2012项和S2012为________．答案：1.B　2.C　3.C　4.　5.1006◆以上题目主要考查了以下内容：数列的求和方法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和①等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋；②等比数列的前n项和公式：Sn＝(2)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数

3、列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．(4)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(5)分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和

4、．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．【指点迷津】　1．一种思路一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．2．三项注意(1)裂项求和，把通项裂开后，注意检查是否恰好等于相应的两项之差．(2)裂项求和，注意总结正负抵消的规律．(3)错位相减求和，注意错位的项及相减后的结果．　　　　　　　　　　[对应学生用书P89]考向一　分组转化求和　(2014·温州市高三调研)已知{an}是递增的等差数列，a1＝2，a＝

5、a4＋8.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an＋2an，求数列{bn}的前n项和Sn.【审题视点】　求出an后，bn可看作两个数列{an}与{2an}对应项之和，故Sn＝Sn′＋Tn.【典例精讲】　(1)设等差数列的公差为d，d＞0.由题意得，(2＋d)2＝2＋3d＋8，d2＋d－0＝(d＋3)(d－2)＝0，得d＝2.故an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)·2＝2n，得an＝2n.(2)bn＝an＋2an＝2n＋22n.Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n＋22n)＝(

6、2＋4＋6＋…＋2n)＋(22＋24＋…＋22n)＝＋＝n(n＋1)＋.【类题通法】　(1)分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n项和的数列求和．(2)an＝bn±cn或an＝，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n项和．(3)若数列有周期性，先求出一个周期内的和，再转化其它数列(常数列)求和．1．(2014·合肥市高三质检)已知数列{an}满足anan＋1an＋2an＋3＝24，且a1＝1，a2＝2，

7、a3＝3，则a1＋a2＋a3＋…＋a2013＝________．解析：由anan＋1an＋2an＋3＝24可知，an＋1an＋2an＋3an＋4＝24，得an＋4＝an，所以数列{an}是周期为4的数列，再令n＝1，求得a4＝4，每四个一组可得(a1＋a2＋a3＋a4)＋…＋(a2009＋a2010＋a2011＋a2012)＋a2013＝10×503＋1＝5031.答案：5031考向二　裂项相消法求和　(2014·南昌市高三模拟)设正项数列{an}的前n项和是Sn，若{an}和{}都是等差数列，且公差相等．(1)求{an

8、}的通项公式；(2)若a1，a2，a5恰为等比数列{bn}的前三项，记数列cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn.【审题视点】　利用{}为等差数列，求出a1与d的关系，确定an，从而可求bn和cn，用裂项法求Tn.【典例精讲】　(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋，即＝，由是等差数列得到：，则d＝且d＝