2020版高考数学一轮复习第6章不等式第2节基本不等式教学案含解析理.pdf

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1、第二节基本不等式[考纲传真]1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．a＋b1．基本不等式ab≤2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；ba(2)＋≥2(a，b同号且不为零)；aba＋b(3)ab≤2(a，b∈R)；2a＋ba2＋b2(4)2≤(a，b∈R)．223．算术平均数与几何平均数a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几

2、何平均数为ab，基本不等式可叙述为：2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．q2(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．4[常用结论]重要不等式链a2＋b2a＋b2ab若a≥b＞0，则a≥≥≥ab≥≥b.22a＋b[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)1(1)函数y＝x

3、＋的最小值是2.()x4π(2)函数f(x)＝cosx＋，x∈0，的最小值等于4.()cosx2xy(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件．()yx1(4)若a>0，则a3＋的最小值为2a.()a2[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80B．77C．81D．82x＋yC[xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，等号成立．故选C.]23．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2

4、＋b2>2abB．a＋b≥2ab112baC.＋>D.＋≥2abababD[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．对于D，∵ab>0，baba∴＋≥2·＝2.]abab44．若x＞1，则x＋的最小值为________．x－14445[x＋＝(x－1)＋＋1≥2x－＋1＝5，x－1x－1x－14当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．]x－15．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．22[由xy＝1得x2＋2y2≥22

5、x2y2＝22.当且仅当x2＝2y2时等号成立．]利用基本不等式求最值考法1直接法或配凑法求最值1【例1】(1)(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为8b________．51(2)已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．44x－5111(1)(2)1[(1)由题知a－3b＝－6，因为2a＞0,8b＞0，所以2a＋≥2×2a×＝48b8b112×2a－3b＝，当且仅当2a＝，即a＝－3b，a＝－3，b＝1时取等号．48b5(2)因为x＜，所

6、以5－4x＞0，4111则f(x)＝4x－2＋＝－5－4x＋＋3≤－2－4x＋3＝－2＋34x－55－4x5－4x＝1.1当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．5－4x1故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.]4x－5考法2常数代换法求最值11【例2】已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．ab4[因为a＋b＝1，1111baba所以＋＝＋(a＋b)＝2＋＋≥2＋2·＝2＋2＝4.abababab当且仅当a＝b时，等号成立．]11

7、[拓展探究](1)若本例条件不变，求1＋1＋的最小值；ab11(2)若将本例条件改为a＋2b＝3，如何求解＋的最小值．ab11[解](1)1＋1＋aba＋ba＋b＝1＋1＋abba＝2＋·2＋abba＝5＋2＋≥5＋4＝9.ab1当且仅当a＝b＝时，等号成立．212(2)因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1.3311111212a2ba2b22所以＋＝＋a＋b＝＋＋＋≥1＋2·＝1＋.

8、abab33333b3a3b3a3当且仅当a＝2b时，等号成立．[规律方法]利用基本不等式求最值的三种思路,利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有三种思路：利用基本不等式直接求解.对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.1(1)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于()x－2A．1＋2B．1＋3C．3D．4x(2