高考数学第6章不等式第2节基本不等式教学案(含解析)理

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1、第二节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b.2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R);(2)+≥2(a,b同号且不为零);(3)ab≤2(a,b∈R);(4)2≤(a,b∈R).3.算术平均数与几何平均数设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4.利用基本不等

2、式求最值问题已知x>0,y>0,则(1)如果xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2(简记:积定和最小).(2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).重要不等式链若a≥b>0,则a≥≥≥≥≥b.[基础自测]1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y=x+的最小值是2.()(2)函数f(x)=cosx+,x∈的最小值等于4.()(3)x>0,y>0是+≥2的充要条件.()(4)若a>0,则a3+的最小值为2.()[答案] (

3、1)× (2)× (3)× (4)×2.(教材改编)设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为()A.80 B.77 C.81 D.82C [xy≤2=81,当且仅当x=y=9时,等号成立.故选C.]3.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()A.a2+b2>2abB.a+b≥2C.+>D.+≥2D [∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A错误;对于B,C,当a<0,b<0时,明显错误.对于D,∵ab>0,∴+≥2=2.]4.若x>1,则x+的最小值为________.5 [x+=(x

4、-1)++1≥2+1=5,当且仅当x-1=,即x=3时等号成立.]5.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为________.2 [由xy=1得x2+2y2≥2=2.当且仅当x2=2y2时等号成立.]利用基本不等式求最值►考法1 直接法或配凑法求最值【例1】 (1)(2018·天津高考)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为________.(2)已知x<,则f(x)=4x-2+的最大值为________.(1) (2)1 [(1)由题知a-3b=-6,因为2a>0,8b>0,所以2a+

5、≥2×=2×=,当且仅当2a=,即a=-3b,a=-3,b=1时取等号.(2)因为x<,所以5-4x>0,则f(x)=4x-2+=-+3≤-2+3=-2+3=1.当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立.故f(x)=4x-2+的最大值为1.]►考法2 常数代换法求最值【例2】 已知a>0,b>0,a+b=1,则+的最小值为________.4 [因为a+b=1,所以+=(a+b)=2+≥2+2=2+2=4.当且仅当a=b时,等号成立.][拓展探究] (1)若本例条件不变,求的最小值;(2)若将本例条件改为a+2b=

6、3,如何求解+的最小值.[解] (1)==·=5+2≥5+4=9.当且仅当a=b=时,等号成立.(2)因为a+2b=3,所以a+b=1.所以+==+++≥1+2=1+.当且仅当a=b时,等号成立.[规律方法] 利用基本不等式求最值的三种思路,利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值,主要有三种思路:(1)利用基本不等式直接求解.(2)对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有:拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(3)条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.(1

7、)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于()A.1+B.1+C.3D.4(2)(2018·平顶山模拟)若对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则实数a的取值范围为()A.a≥B.a>C.a<D.a≤(3)已知正实数x,y满足2x+y=2,则+的最小值为________.(1)C (2)A (3) [(1)当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=(x>2),即x=3时取等号,即当f(x)取得最小值时,即a=3,选C.(2)由x>0,得=≤=,当且仅当x=1时,

8、等号成立.则a≥,故选A.(3)∵正实数x,y满足2x+y=2,则+=(2x+y)=≥=,当且仅当x=y=时取等号.∴+的最小值为.]基本不等式的实际应用【例3】 某厂家拟定在2018年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-(k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件.已知2

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