平稳随机过程和各态历经过程课件.ppt

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1、§2.2平稳随机过程和各态历经过程统计特性不随时间的推移而变化的随机过程称为平稳随机过程。设随机过程ξ(t),若对于任意n和任意选定t1＜t2＜…＜tn,tk∈T，k=1,2,…,n，以及τ为任意值，且x1,x2,…,xn∈R，有fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=fn(x1,x2,…,xn;t1+τ,t2+τ,…,tn+τ)则称ξ(t)是平稳随机过程。随机幅度的正弦信号随机频率的正弦信号幅度、相位和频率都是随机的随机相位的正弦信号平稳随机过程的定义说明：当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有

2、有限维分布函数是不变的。推论：一维分布与时间t无关，二维分布只与时间间隔τ有关。从而有R(t1,t2)=E［ξ(t1)ξ(t1+τ)］=R(t1,t1+τ)=R(τ)2.2.1严平稳过程严格的说：严平稳过程的n维概率密度不随时间平移而变化，或者说与时间起点无关。换句话说：在任何时刻计算严平稳过程的统计结果都是相同的严平稳过程的性质性质一：严平稳过程X(t)的一维概率密度与时间无关严平稳过程X(t)的一维概率密度与时间无关证明：严平稳过程的数学期望和方差与时间无关性质二：严平稳过程X(t)的二维概率密度只与两个时刻t1和t

3、2的间隔有关，与时间起点无关。证明：严平稳过程X(t)的自相关函数和协方差函数都只是时间间隔　　　　的函数。2.2.2宽平稳过程平稳随机过程的定义对于一切n都需成立，这在实际应用上很复杂。由平稳随机过程的均值是常数，自相关函数是τ的函数还可以引入另一种平稳随机过程的定义：若随机过程ξ(t)的均值为常数，自相关函数仅是τ的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。广义平稳的高斯过程必定也是严平稳的，即对于高斯过程来说，严平稳与宽平稳是等价的。一个严平稳过程只要它的均方值有限，则它必定是广义平稳的。但是，反之则不一定成

4、立。平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性”。若平稳随机过程的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代，则称平稳随机过程具有“各态历经性”。各态历经性“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，我们无需获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。随机过程的各个样本函数都同样地经历了随机

5、过程的各种可能状态，因此从随机过程的任何一个样本函数就能得到随机过程的全部统计信息，任何一个样本函数的特性都能充分地代表整个随机过程的特性。