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1、高考大题专项练四 高考中的立体几何 高考大题专项练第8页 1.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设AP=1,AD=3,三棱锥P-ABD的体积V=34,求A到平面PBC的距离.(1)证明设BD与AC的交点为O,连接EO.因为四边形ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB.又EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)解V=16PA·AB·AD=36AB,由V=34,可
2、得AB=32.作AH⊥PB交PB于H,由题设知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH.故AH⊥平面PBC.又AH=PA·ABPB=31313.所以A到平面PBC的距离为31313.〚导学号74920579〛2.如图,四棱锥P-ABCD,侧面PAD是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是∠ABC=60°的菱形,M为PC的中点.(1)求证:PC⊥AD;(2)证明在PB上存在一点Q,使得A,Q,M,D四点共面;(3)求点D到平面PAM的距离.(1)证法一取AD中点O,连接OP,OC,AC,依题意可知△
3、PAD,△ACD均为正三角形,所以OC⊥AD,OP⊥AD.又OC∩OP=O,OC⊂平面POC,OP⊂平面POC,所以AD⊥平面POC.又PC⊂平面POC,所以PC⊥AD.证法二连接AC,依题意可知△PAD,△ACD均为正三角形,又M为PC的中点,所以AM⊥PC,DM⊥PC.又AM∩DM=M,AM⊂平面AMD,DM⊂平面AMD,所以PC⊥平面AMD.又AD⊂平面AMD,所以PC⊥AD.(2)证明当点Q为棱PB的中点时,A,Q,M,D四点共面,证明如下:取棱PB的中点Q,连接QM,QA,又M为PC的中点
4、,所以QM∥BC,在菱形ABCD中AD∥BC,所以QM∥AD,所以A,Q,M,D四点共面.(3)解点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离,由(1)可知PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD,即PO为三棱锥P-ACD的体高.在Rt△POC中,PO=OC=3,PC=6,在△PAC中,PA=AC=2,PC=6,边PC上的高AM=PA2-PM2=102,所以△PAC的面积S△PAC=12PC·AM=12×6×102=152,设
5、点D到平面PAC的距离为h,由VD-PAC=VP-ACD,得13S△PAC·h=13S△ACD·PO,又S△ACD=34×22=3,所以13×152·h=13×3×3,解得h=2155,所以点D到平面PAM的距离为2155.〚导学号74920580〛3.如图所示,△ABC为正三角形,CE⊥平面ABC,BD∥CE,CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证:(1)DE=DA.(2)平面BDM⊥平面ECA.证明(1)取CE的中点F,连接DF.∵CE⊥平面ABC,∴CE⊥BC.∵BD∥CE,BD=12CE=
6、CF=FE,∴四边形FCBD是矩形,∴DF⊥EC.又BA=BC=DF,∴Rt△DEF≌Rt△ADB,∴DE=DA.(2)取AC中点N,连接MN,NB,∵M是EA的中点,∴MN?12CE.由BD?12CE,且BD⊥平面ABC,可得四边形MNBD是矩形,于是DM⊥MN.∵DE=DA,M是EA的中点,∴DM⊥EA.又EA∩MN=M,∴DM⊥平面ECA,而DM⊂平面BDM,∴平面BDM⊥平面ECA.〚导学号74920581〛4.如图,在底面是菱形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ABC=60°,AA1
7、=AC=2,A1B=A1D=22,点E在A1D上.(1)证明:AA1⊥平面ABCD;(2)当A1EED为何值时,A1B∥平面EAC,并求出此时三棱锥D-AEC的体积.(1)证明因为底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,所以AB=AD=AC=2.在△AA1B中,由AA12+AB2=A1B2,知AA1⊥AB.同理,AA1⊥AD.又因为AB∩AD于点A,所以AA1⊥平面ABCD.(2)解当A1EED=1时,A1B∥平面EAC.证明如下:连接BD交AC于O,当A1EED=1,即点E为A1D的中点时,连接OE
8、,则OE∥A1B,所以A1B∥平面EAC.设AD的中点为F,连接EF.则EF∥AA1,所以EF⊥平面ACD,且EF=1,可求得S△ACD=3.所以VE-ACD=13×1×3=33,即VD-AEC=VE-ACD=33.〚导学号74920583〛5.如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,点V是圆O所在平面外一点,D是AC的中点,已知AB=2,VA=VB=VC=2.(1)求证:OD∥平面VBC;(2)求证:AC⊥平面VOD;(3)求棱锥C-ABV的体积.(1)证明
