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1、高考大题专项练三 高考中的数列 高考大题专项练第6页 1.(2016河北唐山高三检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bnan是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)依题意得,3a1+3×22d+5a1+4×52d=50,(a1+3d)2=a1(a1+12d),解得a1=3,d=2.故an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即an=2n+1.(2)由题意可知bnan=3n-1,则bn=an·3n-1=(2n+1)·3n-1.故Tn=3
2、+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1,①3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,②①-②得-2Tn=3+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n+1)3n=3+2·3(1-3n-1)1-3-(2n+1)3n=-2n·3n,因此,Tn=n·3n.〚导学号74920571〛2.(2016河北衡水中学考前仿真二)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=3,Sn+1=3Sn+3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=nan+1-an,求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)(方法一)∵Sn+1=3Sn+3,∴Sn+1+32=3Sn
3、+32.∴Sn+32=S1+323n-1=92×3n-1=3n+12.∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n+12-3n2=3n,a1也适合.∴an=3n.(方法二)由Sn+1=3Sn+3(n∈N*),可知当n≥2时,Sn=3Sn-1+3,两式相减,得an+1=3an(n≥2).又a1=3,代入Sn+1=3Sn+3得a2=9,故an=3n.(2)∵bn=nan+1-an=n3n+1-3n=12·n3n,∴Tn=1213+232+333+…+n3n,①∴13Tn=12132+233+334+…+n-13n+n3n+1,②由①-②,得23Tn=1213+132+133+134+…+13n
4、-n3n+1,解得Tn=38-2n+38·3n.〚导学号74920572〛3.(2016四川,文19)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*.(1)若a2,a3,a2+a3成等差数列,求数列{an}的通项公式;(2)设双曲线x2-y2an2=1的离心率为en,且e2=2,求e12+e22+…+en2.解(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到an+2=qan+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故an+1=qan对所有n≥1都成立.所以,数列{an}是首项为1,公比为q的等比数
5、列.从而an=qn-1.由a2,a3,a2+a3成等差数列,可得2a3=a2+a2+a3.所以a3=2a2,故q=2.所以an=2n-1.(2)由(1)可知,an=qn-1.所以双曲线x2-y2an2=1的离心率en=1+an2=1+q2(n-1).由e2=1+q2=2,解得q=3.所以e12+e22+…+en2=(1+1)+(1+q2)+…+[1+q2(n-1)]=n+[1+q2+…+q2(n-1)]=n+q2n-1q2-1=n+12(3n-1).〚导学号74920573〛4.(2016山西晋中5月高三质检)已知数列{an}的首项a1=23,an+1=2anan+1(n∈N*).(1
6、)求证:数列1an-1是等比数列;(2)求数列nan的前n项和Sn.(1)证明∵an+1=2anan+1,∴1an+1=an+12an=12+12·1an.∴1an+1-1=121an-1.又a1=23,∴1a1-1=12.∴数列1an-1是以12为首项,以12为公比的等比数列.(2)解由(1)知1an-1=12·12n-1=12n,则1an=12n+1.故nan=n2n+n.设Tn=12+222+323+…+n2n,①则12Tn=122+223+…+n-12n+n2n+1,②由①-②得12Tn=12+122+…+12n-n2n+1=121-12n1-12-n2n+1=1-12n-n2
7、n+1,∴Tn=2-12n-1-n2n.又1+2+3+…+n=n(n+1)2,∴数列nan的前n项和Sn=2-2+n2n+n(n+1)2=n2+n+42-n+22n.〚导学号74920574〛5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1;数列{bn}满足bn-1-bn=bnbn-1(n≥2,n∈N*),b1=1.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)求数列anbn的前n项和Tn.解(1)由Sn=2an-1,得S1=a1=2
