离散数学ch12[1]环与域.ppt

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1、离散数学第三部分代数系统环与域环:定义环设是代数系统,+和·是二元运算。如果满足以下条件:(1)构成交换群，(2)构成半群，(3)·运算关于+运算适合分配律，则称是一个环。为了区别环中的两个运算,通常称+运算为环中的加法,·运算为环中的乘法。有两个运算，并建立在群的基础之上的代数系统环:实例环的实例(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环,分别称为整数环Z,有理数Q,实数环R和复数环C.(2)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法

2、和乘法构成环,称为n阶实矩阵环。(3)集合的幂集ρ(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环。(4)设Zn＝{0,1,...,n－1},和分别表示模n的加法和乘法,则构成环,称为模n的整数环。环:叙述上的方便将环中加法的单位元记作0,乘法的单位元记作1(对于某些环中的乘法不存在单位元)。对任何环中的元素x,称x的加法逆元为负元,记作-x.若x存在乘法逆元的话,则将它称为逆元,记作x-1.环:叙述上的方便针对环中的加法,用x-y表示x+(-y)nx表示x+x+……x,即的n次加法幂用-xy表示xy的负元

3、。环:定理定理设是环,则(1)a∈R,   a0=0a=0(2)a,b∈R,(-a)b=a(-b)=-ab(3)a,b,c∈R,  a(b-c)=ab-ac,(b-c)a=ba-ca(4)a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈R(n,m≥2)环:定理(1)a∈R,   a0=0a=0证a∈R有a0=a(0+0)=a0+a0由环中加法的消去律得a0=0同理可证0a=0环:例:在环中计算(a+b)3，(a-b)2解:(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ba+ab

4、+b2)(a+b)=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3=a2-ba-ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)子环:定义设R是环,S是R的非空子集。若S关于环R的加法和乘法也构成一个环,则称S为R的子环.若S是R的子环,且SR,则称S是R的真子环。例整数环Z,有理数环Q都是实数环R的真子环。{0}和R也是实数环R的子环,称为平凡子环。子环:子环的判定定理定理设R是环,S是R的非空子集,若(1)a,b∈S,a-b∈S(2)a,b∈S,ab∈S则S是R的子环。证由(1)S关于环

5、R中的加法构成群。由(2)S关于环R中的乘法构成半群。显然R中关于加法的交换律以及乘法对加法的分配律在S中也是成立的。因此S是R的子环。环的同态定义设R1和R2是环。：R1→R2,若对于任意的x,y∈R1有(x+y)=(x)+(y)，(xy)=(x)(y)成立,则称是环R1到R2的同态映射,简称环同态。类似于群同态,也可以定义环的单同态,满同态和同构等。整环整环设是环,(1)若环中乘法·适合交换律,则称R是交换环。(2)若环中乘法·存在单位元,则称R是含幺环。(3)若a,b∈R,ab

6、=0a=0∨b=0,则称R是无零因子环。(4)若R既是交换环、含幺环,也是无零因子环,则称R是整环。环交换环、含幺环、无零因子环、整环的实例(1)整数环Z,有理数环Q,实数环R,复数环C都是交换环、含幺环、无零因子环和整环。(2)令2Z={2z

7、z∈Z},则2Z关于普通的加法和乘法构成交换环和无零因子环。但不是含幺环和整环,因为1∈2Z(3)设n是大于或等于2的正整数,则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环,它是含幺环,但不是交换环和无零因子环,也不是整环。/环交换环、含幺环、无零因子环、整环的实例

8、Z6关于模6加法和乘法构成环,它是交换环,含幺环,但不是无零因子环和整环。Zn是整环当且仅当n是素数。域域则称它是域设R是整环,且R中至少含有两个元素。若a∈R*=R-{0},都有a－1∈R,是一种特殊的环域例有理数集Q,实数集R,复数集C关于普通的加法和乘法都构成域，分别称为有理数域,实数域和复数域。但整数环只能构成整环Z,而不是域,因为并不是对于任意的非零整数z∈Z都有1/z∈Z。对于模n的整数环Zn,若n是素数,可以证明Zn是域。域类似于子环,也可以定义子整环和子域。下略