等差数列第2课时课件（人教A版必修5）.ppt

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1、第2课时　等差数列的性质等差数列的性质若数列{an}是公差为d的等差数列，则有下列性质：(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则.am＋an＝ap＋qq(3){an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和相等，且等于首末两项之和，即.(4)若数列{an}为等差数列，则数列{λan＋b}(λ、b是常数)是公差为的等差数列．(5)若数列{an}为等差数列，则下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为的等差数列．(6)若数列{an}与{bn}

2、均为等差数列，则{Aan＋Bbn}也是．a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an－i＋1＝…λdmd等差数列1．已知等差数列{an}中，a3＝1，a7＝－9，则a5＝()A．－4B．4C．－8D．8解析：a5＝(a3＋a7)＝－4.答案：A2．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是()A．64B．31C．30D．15解析：a8＝(a7＋a9)＝8，a12＝2a8－a4＝15.答案：D3．在数列{an}中，a3、a10是方程x2－3x－5＝0的两根，若{an}是等差数列，则a5＋a8＝_

3、_______.解析：由已知得a3＋a10＝3，又a5＋a8＝a3＋a10，∴a5＋a8＝3.答案：34．若48，a，b，c，－12是等差数列中的连续五项，则a、b、c的值依次为__________．解析：由等差数列的性质知2b＝48＋(－12)，∴b＝18，同理2a＝48＋b＝66∴a＝33，同理2c＝b＋(－12)＝6，∴c＝3，故a，b，c的值依次为33,18,3.答案：33,18,35．在等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；解：由m＋n＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq，得a2

4、＋a24＝a3＋a23＝2a13.∵a2＋a3＋a23＋a24＝48，∴4a13＝48，∴a13＝12.[例1]已知等差数列{an}，(1)若a2＋a3＋a25＋a26＝48，求a14；(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.[分析]等差数列的首项a1和公差d是等差数列中最基本的两个量．本题如果是利用已知条件列出关于a1和d的方程(或方程组)．进而求出a1和d，当然可使问题获解．但若能结合等差数列的几个基本性质进行解题，可以收到事半功倍的效果．[解](1)∵a2＋a26＝a3＋a25＝2a1

5、4，∴a2＋a3＋a25＋a26＝4a14＝48.解得a14＝12.[点评]本题考查等差数列的两个基本性质．解题时应注意题中所给各项的关系，注意第(2)题应有两组结果．迁移变式1(1)设{an}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8；(2)在等差数列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，求3a9－a13的值．解：(1)a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.(2)由a3＋a5＋a7

6、＋a9＋a11＝5a7＝100得a7＝20.∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.[例2]若数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75的值．[分析]方法1：先求出a1和d，确定通项公式an，从而得出a75.方法2：本题也可根据性质：{an}为等差数列，则a15，a30，a45，a60，a75也为等差数列，再进行求解．解法2：∵{an}为等差数列，∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列．设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项．∴a60＝a15＋3d，∴2

7、0＝8＋3d，解得d＝4.∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.[点评]等差数列中项数成等差的项仍然组成等差数列，解法2正是应用等差数列这一性质解题的．迁移变式2已知数列{an}为等差数列．(1)若a15＝10，a45＝90，求a60；(2)公差d＝－2，且a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．[例3]已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．[点评](1)对于项数有限的等差数列，用“对称设项”的方法来设项能达到化多为少的目的(特别是在已知其和时)，三个

8、数的“对称设项”是x－d，x，x＋d；五个数是x－2d，x－d，x，x＋d，x＋2d；四个数则是x－3d，x－d，x＋d，x＋3d等等．本题解法3就是运用“对称设项法”，是三个解法中最简捷的．(2)除用对称设项方法外，也可以用“设基本量法”，即设出a1、d，运用通项公式表示所需的项，它也能起到化多为少的作用．迁移变式3(1)有三个数成等差数列，它们的和为9，