应用举例 第1课时 课件（人教A版必修5）.ppt

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1、§1.2　应用举例第1课时　距离、高度、角度问题1.基本概念(1)在视线和水平线所成的角中，视线在水平线的角叫仰角，视线在水平线的角称为．(2)把指北方向线按顺时针转到目标方向线所成的水平角叫方位角．上方下方俯角2.距离问题(1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题．这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用就可解决问题．正弦定理(2)测量两个不可到达的点之间的距离问题．首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用求三角形的边长问题，然后把未知的BC和AC的问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的问题．3.高度问题测量底部不可

2、到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物到一个的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．正弦定理顶部选定4.角度问题测量角度就是在三角形内利用求角的正弦值或余弦值，再根据需要求出所求的角．正弦定理和余弦定理1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是(　　)A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°解析：如图3，在A处望B处的仰角α与从B处望A处的俯角β是内错角，根据水平线平行，得α＝β.答案：B答案：B答案：C答案：A5．如图7所示，隔河可以

3、看见目标A，B，但不能到达，在岸边选择相距km的C，D两点，并测得∠DCB＝45°，∠BDC＝75°，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离．[例1]一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30nmile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A，D两处的距离．[点评]问题的求解涉及到两个三角形，AD边在△ACD中，先看△ACD中的哪些边、角是已知的，或是易求的，由题设知△ACD恰好是等腰直角三角形，于是只需求出一边A

4、C即可，而AC在△ABC中通过正弦定理可得．迁移变式1海中一小岛，周围3.8nmile内有暗礁．货轮由西向东航行，测得这岛在北偏东75°，航行8nmile以后，测得这岛在北偏东60°.如果这艘货轮不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？解：如图9所示，过A点向货轮的航线BD作垂线AD，在△ABC中，∠ABC＝90°－75°＝15°，∠BCA＝90°＋60°＝150°，∴∠BAC＝180°－150°－15°＝15°＝∠ABC，∠ACD＝180°－150°＝30°，∴AC＝BC＝8nmile，AD＝ACsin∠ACD＝8×sin30°＝4(nmile)>3.8nmile，∴

5、如果这艘货轮不改变航向继续前进，没有触礁的危险．[例2]某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40m以后，望见塔在东北方向．若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度．[解]依题意画出直观图(如图10所示)．设某人在C点，AB为塔高，他沿CD前进，且CD＝40m．塔高AB为定值，要使仰角∠AEB最大，则BE必最小，故BE的长为点B到CD的距离．要求AB，必须先求BE，由于△DBE是直角三角形，可在△DBC中先求出DB或BC，这样BE可求，则问题可解．在△BDC中，CD＝40m，∠BCD＝90°－60°＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°.[点评]本题既有方

6、向角，又有仰角，要注意运用空间想象作图，作出的示意图应是立体图，这是本题求解的一个关键；破解“沿途测得塔的最大仰角”是本题求解的第二个关键．已知塔与塔所在的平面是垂直的，这样就有了直角三角形，不但为求塔的高度提供了三角形模型，而且还顺利地找到了“最大的仰角”．在解三角形的实际应用问题中，弄清楚与测量有关的概念，在正确作出示意图的同时，还要注意有关简单的涉及空间图形的问题．迁移变式2甲、乙两塔相距60m，从乙塔塔底望甲塔塔顶仰角为45°，从甲塔塔顶望乙塔塔顶俯角为30°，则甲、乙两塔高度分别为________．[例3]甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两

7、船相距anmile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的倍，问甲船应取什么方向前进才能尽快追上乙船？相遇时乙船已行驶多少海里？[分析]乙船也在运动，无法直接测出A船应走路线的方位角，只能计算出其方位角，构造三角形ABC解之．[例4]　(2009·宁夏、海南高考)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量．A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图14)．飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤．1．测量地面