解析函数的罗朗展式与孤立奇点课件.ppt

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1、第五章解析函数的罗朗(Laurent)展式与孤立奇点5.1解析函数的洛朗展式5.2解析函数的孤立奇点5.3解析函数在无穷远点的性质5.4整函数与亚纯函数学习要求⒈了解双边幂级数的有关概念；⒉理解孤立奇点的概念，掌握判别孤立奇点类别的方法；⒊了解罗朗定理，熟练掌握将函数在孤立奇点（无穷远点除外）展成罗朗级数的方法；⒋了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质。5.1解析函数的洛朗展式5.1.1双边幂级数定义6.1称级数（5.3）为复常数，称为双边幂级数（5.3）的系数为双边幂级数，其中负幂项部分非负蜜幂项部分主要部分解析部分同时收敛收敛f1(z)f2(z)f(z)收敛半径收敛

2、域收敛半径收敛域两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分H:R1aaRarHf(z)=f1(z)+f2(z这时,级数(5.3)在圆环H:r<

3、z-a

4、

5、z-a

6、

7、z-a

8、

9、的函数f(z)必可展成双边幂级数其中(5.5)(5.4)5.1.2解析函数的洛朗展式aHa证(如图5.1)对z∈H,总可以找到含于H内的两个圆周使得z含在圆环z图5.1内，因为f(z)在圆环上解析,由柯西积分公式有或写成(5.6)我们将上式中的两个积分表为含有z-a的(正或负)幂次的级数.1对于第一个积分,只要照抄泰勒定理4.14证明中的相应部分,就得(5.7)(5.8)12类似地,对(5.6)的第二个积分我们有2于是上式可以展成一致收敛的级数沿Γ1逐项求积分,两端同乘以(5.9)(5.10)由(5.6),(5.7),(5.9)即得回过头来考察系数(5.8)及(5.1

10、0),由复围线的柯西积分定理,对任意圆周有于是系数可统一表成(5.5).因为系数cn与我们所取的z无关,故在圆环H内(5.4)成立.上一致收敛.乘以Γ上的有界函数:最后证明展式的唯一性.设f(z)在圆环H内又可展成下式:由定理5.1知,它在圆周故可逐项积分，得：仍然一致收敛利用重要积分公式，得：定义5.1(5.4)称为f(z)在点a的罗朗展式,(5.5)称为其系数,而(5.4)右边的级数则称为罗朗级数.5.1.3洛朗级数与泰勒级数的关系泰勒级数是罗朗级数的特殊情形.例1判断在下列区域内能展成什么幂级数．即：罗朗级数或泰勒级数．5.1.4解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式

11、定义5.2如果f(z)在点a的某一去心邻域K-{a};0<

12、z-a

13、

14、z-a

15、

16、知:由高阶导数公式知:另解本例中圆环域的中心z=0既是各负幂项的奇点,例2内是处处解析的,试把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.解oxy112oxy由且仍有2oxy由此时仍有注意:奇点但却不是函数的奇点.本例中圆环域的中心是各负幂项的说明:1.函数在以为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有的负幂项,而且又是这些项的奇点,但是可能是函数的奇点,也可能的奇点.不是2.给定了函数与复平面内的一点以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾.朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性:指函数在某一个给定的圆

17、环域内的洛解例3例4解例5内的洛朗展开式.解五、小结与思考在这节课中,我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法.将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点.洛朗级数与泰勒级数有何关系?思考题洛朗级数是一个双边幂级数,其解析部分是一个普通幂级数;思考题答案是一般与特殊的关系.洛朗级数的收敛区域是圆环域放映结束，按Esc退出.