高等代数北大版课件.ppt

《高等代数北大版课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§2线性变换的运算§3线性变换的矩阵§4特征值与特征向量§1线性变换的定义§6线性变换的值域与核§8若当标准形简介§9最小多项式§7不变子空间小结与习题第七章线性变换§5对角矩阵一、线性变换与基二、线性变换与矩阵§7.3线性变换的矩阵三、相似矩阵一、线性变换与基的线性变换.则对任意　　　存在唯一的一组数1．设　　　　　是线性空间V的一组基，　为V使从而，由此知，　　由　　　　　　　完全确定.一组基在　下的象即可.所以要求V中任一向量在　下的象，只需求出V的2．设　　　　　是线性空间V的一组基，　　为V的线性变换，若则由已知，即得由此知，一个线性变换完全

2、由它在一组基上的作用所决定.证：对证：定义都存在线性变换　使任意n个向量3．设　　　　　是线性空间V的一组基，对V中易知　为V的一个变换，下证它是线性的.任取　　　　　设则于是为V的线性变换.又由2与3即得定理1设为线性空间V的一组基，对V中任意n个向量　　　　　　存在唯一的线性变换　　使设　　　　　为数域P上线性空间V的一组基，为V的线性变换.基向量的象可以被基线性表出,设用矩阵表示即为二、线性变换与矩阵1．线性变换的矩阵其中②单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵；零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵；①A的第i列是　　在基　　　　　下的坐标，矩

3、阵A称为线性变换　在基　　　　　下的矩阵.注：它是唯一的.故　在取定一组基下的矩阵是唯一的.数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；例1.设线性空间　的线性变换　为求　在标准基　　　　下的矩阵.解：例2.设　　　　　　　　为n维线性空间V的子空间W的一组基，把它扩充为V的一组基：并定义线性变换　：则称这样的变换　为对子空间W的一个投影.易验证2．线性变换运算与矩阵运算定理2设为数域P上线性空间V的一组的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质：基，在这组基下，V的每一个线性变换都与　　中①线性变换的和对应于矩阵的和；②线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；③线性变

4、换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；④可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.证：设　　为两个线性变换，它们在基下的矩阵分别为A、B，即①∴在基下的矩阵为A＋B.②∴在基下的矩阵为AB.③∴在基下的矩阵为④由于单位变换(恒等变换)对应于单位矩阵E.相对应.因此，可逆线性变换　与可逆矩阵A对应，且所以，与AB＝BA＝E逆变换　对应于逆矩阵注：事实上，任意取定V的一组基　　　　　后，对任意　　　　，定义　：这里A为　在基　　　　　下的矩阵.则　就是　　到　　的一个同构映射.3．线性变换矩阵与向量在线性变换下的象定理3设线性变换　在基　　　　下的矩阵

5、为A,在基　　　　　下的坐标为在基　　　　　下的坐标为则有证：由已知有又由于线性无关，所以4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵矩阵是X，则(Ⅱ)(Ⅰ)定理4设线性空间V的线性变换　在两组基证：由已知，有于是，由此即得三、相似矩阵1．定义设A、B为数域P上的两个n级矩阵，若存在可逆矩阵　使得则称矩阵A相似于B，记为（1）相似是一个等价关系，即满足如下三条性质：①反身性：②对称性：2．基本性质③传递性：（2）定理5线性变换在不同基下的矩阵是相似的；同一线性变换在两组基下所对应的矩阵.反过来，如果两个

6、矩阵相似，那么它们可以看作证：前一部分显然成立.下证后一部分.设且A是线性变换在基　　　　下的矩阵.显然，也是一组基，矩阵就是B.且　在这组基下的（3）相似矩阵的运算性质①若则即，特别地，②若　　　　　　　　　　　　则例3.设为线性空间V一组基，线性变换　在这组基下的矩阵为为V的另一组基，且（1）求在下的矩阵B.（2）求解：（1）由定理4，　在基　　　下的矩阵（2）由　　　　　　有于是例4.在线性空间　中，线性变换　定义如下：（1）求在标准基　　下的矩阵.（2）求　在　　　　下的矩阵.解：（1）由已知，有设在标准基　　下的矩阵为A，即因而，（2）设　在

7、　　　下的矩阵为B，则A与B相似，且