定积分不等式.pdf

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1、第三章一元积分学第三节定积分值的估计及不等式定积分值的估计及不等式证明是一个较难的问题，方法多样，用到的知识（微分学的知识，积分学的知识等）也很多。总的说来：（1）主要用积分学的知识，除了定积分的性质、积分中值定理、计算方法外，以下几个简单的不等式也是有用的：bb（i）若f(x)g(x)(x[a,b])，则f(x)dxg(x)dx.aabb（ii）

2、f(x)dx

3、

4、f(x)

5、dx.aadb（iii）若f(x)0(x[a,b]),acdb,则f(x)dxf(x)dx.cabbb222(iv)(柯西不

6、等式)[af(x)g(x)dx]af(x)dxag(x)dx(2)主要用微分学的知识,包括前面己讲过的利用微分学知识证明不等式的一切方法.(3)利用二重积分、级数等．值得注意的是：题目的解法往往有多种，同一题目其解答过程中往往要用到各种知识和方法．22例１．判断积分sinxdx的符号0分析：这个积分值是求不出来的．如果被积函数在积分区间上有确切的符号，那么积分值的符号很容易判断．如果被积函数在积分区间上有正、有负，那么应根据被积函数的正、负情况将积分区间分成部分区间，然后利用积分学等方面的知识比较在这些部分区间上的积

7、分值2（实际上是比较积分值的绝对值）．本题中被积函数sinx在积分区间上有正、有负，先作22212sint换元：tx，把积分变为sinxdxdt后，问题更清晰，因而想到020t2212sint1sint2sint0sinxdx0dt(0dxdt)2t2tt至此积分的符号凭直觉已经能判断了．但严格说明还需做一些工作，上式右端两个积分的积分区间不一样，为了方便比较，应将两个积分放在同一积分区间上进行比较．有了这些分析和思路后，解答就容易了．2解：令tx，则2212sint1sint2si

8、nt0sinxdx0dt＝(0dxdt)2t2tt2sintsinusint对上式右端后一积分换元tu得dtdudtt0u0t221sintsint从而0sinxdx(dxdt)20t0tPage-1-of11111()sintdt020tt注：本题的解答过程不复杂，但其过程中有两个技巧很有用（１）将积分区间分成部分区间（尤其是等分区间，特别是二等分）（２）如要比较两个在不同积分区间上的积分的大小，可通过换元变成相同积分区间上的积分，然后比较

9、．3例２．设a0，证明：xasinxdx2asinxdx004分析:：从形式上看很象柯西不等式，但两个积分的积分区间不一样，前面的积分可用教材上介绍的一个等式xf(sinx)dx2f(sinx)dx变为[0,]上的积分，再用柯西不等式便可得结002论。解：xasinxdx2asinxdx00sinxsinx3xasinxdx2asinxdx2(a2)dx2(a2)2dx(21dx)2000004例３．设f(x)在[a,b]上有一阶连续导数，且f(a)

10、0，证明：2b(ba)（１）

11、f(x)dx

12、max

13、f(x)

14、a2x[a,b]2b2(ba)b2（２）f(x)dx[f(x)]dxa2a分析：（１）该不等式实际上给出了左边积分的一个界。若令Mmax

15、f(x)

16、，则有x[a,b]

17、f(x)

18、M，即给出了导数的界，再加条件f(a)0，可估计出

19、f(x)

20、M(xa),x[a,b]，x进而估计出积分的界。（２）不等式两边分别有f(x)和f(x)，而等式f(x)f(x)dxf(x)0x0可将两者联系起来，这里x要根据具体问题具体选择，本题中

21、容易想到xa00证明：（１）令Mmax

22、f(x)

23、，由拉氏中值定理知x[a,b]f(x)f(x)f(a)f()(xa)从而

24、f(x)

25、

26、f()(xa)

27、M(xa),x[a,b]2bbb(ba)所以

28、af(x)dx

29、a

30、f(x)

31、dxaM(xa)dxM2xx（２）f(x)f(t)dtf(a)f(t)dt，则aaxxxb2222f(x)[af(t)dt]a1dta[f(t)]dt(xa)a[f(t)]dt2b2b2b(ba)b2故af(x)dx

32、a[f(t)]dta(xa)dxa[f(x)]dx2ab注：（１）中，若将条件f(a)0改为(i)f(b)0，结论仍成立，(ii)f()0,右端改222(ba)(ba)为max

33、f(x)

34、,(iii)f(a)0且f(b)0,右端