定积分经典习题.pdf

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1、第8次习题课讲义一、关于定积分的计算：1.分段函数的定积分32例1、计算x2x3dx2[分析]计算带绝对值的被积函数的积分,先脱掉绝对值.脱掉的方法有两种,一是令含绝对值部分的函数为零,求出其实根,以其实根为分段点,将被积函数化成分段函数;二是利用函数的奇偶性、周期性等性质，使绝对值符号脱落.[解法1]先令x0得分段点x0.于是0322原式=x2x3dxx2x3dx,2022再分别令x2x3,0x2x30,易得分段点x,1x1,于是得到1022原式=(x2x)3dx(x2x)3dx21134922+(x2x)3dx

2、(x2x)3dx.0132[解法2]注意到x2x3为偶函数,因此有2322原式=x2x3dx(x2x)3dx222322=2x2x3dx(x2x)3dx02123222=2(x2x)3dx2(x2x)3dx(x2x)3dx01249=。332练习：求min(

3、

4、,xxdx)231132237提示：min(

5、

6、,xxdx)xdxxdxxdx。622112、换元积分法及分部积分法1ax例2.计算arctandx0ax[分析]本题应用换元积分法,换元时应注意要换限.ax[解法1]令tarctana

7、x21tant则xaacos2t,21tant0a故原式=td(acos2t)=atcos2t│0+a4cos2tdt=0244[解法2]令xcost0tt00aa原式=dcostacostcostdt2222222ax[解法3]记(x),分部积分得axaa112a原式=xarctan(x)xdx00122(ax)2axa=dx=02a2x22x1xe例3、计算dx01(x)2[分析]定积分的计算常常需要一定的特殊方法和技巧,这些方法和技巧只有通过平时多做习题并注意体会和积累来掌握.1xxx1x1xe1exe[解法1]原

8、式=xeddx01x1x01x0e1xe=edx1202x1(x1)1e[解法2]原式=dx01(x)2xx1e1e=dxdx01x01(x)2x11x1e=dedx01x01(x)21xxxe1e1e=dx+dx1x01(x)201(x)20e=1。2a22练习：xaxdxaaa22222提示：xaxdx=axdxa。2aa例4、求下列定积分：asinxdx(1)I2dx=；0sinxcosxxax220dxdx(2)I2=01(cotx)199911xx21

9、999024x(3)Idx04xx22（4）lnsinxdx041ln(1x)（5）ln(1tan)xdx=dx21x00[分析]作变量替换,使分母不变,而使分子为分母中另一项的积分.对前后两积分求和即可求积分值.sin(u)02[解](1)I(du)(令ux)22sin(u)cos(u)22cosucosx=2du2dx,0cosusinu0cosxsinxsinxcosx故2II2dx2dx,0sinxcosx02所以I.401[解](2)I(du)(令ux)221[cot(

10、u)]19992dxdu=2=201(tanu)19990119991()cotu19991999(cotu)(cotx)=2du=2dx0(cotu)1999101(cotx)199919991(cotx)故2I2dx2dx,01(cotx)199902所以I.40u2[解]I(du)(令4xu2即u2x)2u24u2x2dx04xx224xx22故2Idx=dx2,04xx20所以I1.3lnsinxxxcot22（4）解：因为limxxlnsinlimlimlim0，13

11、xx00x01x0tanxxx22222dx又收敛，故广义积分lnsinxdx也收敛。令xt，则x200222lnsinxdx=lncostdtlncosxdx，于是00022222111111lnsinxdx=lnsinxcosxdxlnsin2xdxlndxlnsin2xdx22222200000（对