正文描述:《2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2椭圆的几何性质应用案巩固提升新人教B版选修2_1.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2.2椭圆的几何性质[A 基础达标]1.已知椭圆的离心率为,焦点是(-3,0)和(3,0),则椭圆方程为( )A.+=1 B.-=1C.+=1D.-=1解析:选A.由已知,c=3,又e=,所以a=6.所以b2=a2-c2=27.又焦点在x轴上,所以椭圆方程为+=1.2.已知椭圆+=1的长轴在y轴上,且焦距为4,则m等于( )A.4B.5C.7D.8解析:选D.因为椭圆长轴在y轴上,所以a2=m-2,b2=10-m.所以c2=a2-b2=2m-12=4.所以m=8.3.若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为,则m的值为( )A.B.C.D.解析:
2、选B.因为焦点在x轴上,所以a=,b=,所以c==,e===,所以m=.4.已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1⊥PF2,则椭圆的离心率的取值范围为( )A.B.C.D.解析:选C.由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,所以
3、OP
4、=c≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤c,因为e=,0<e<1,所以≤e<1.5.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析:
5、选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,有+=1,+=1,两式相减得=-·=,因为线段AB的中点坐标为(1,-1),所以=.因为右焦点为F(3,0),c=3,所以a2=18,b2=9,所以椭圆E的方程为+=1.6.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且短轴长为4的椭圆方程是________.解析:依题意得椭圆的焦点坐标为(0,),(0,-),故c=,又2b=4,所以b=2,a2=b2+c2=25,故所求椭圆方程为+=1.答案:+=17.椭圆+y2=1被直线x-y+1=0所截得的弦长
6、AB
7、=__________.解析:由得交点为(0,1),,
8、则
9、AB
10、==.答案:8.在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别为椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点.已知点P(a,b),△F1PF2为等腰三角形,则椭圆的离心率e=________.解析:设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),由题意得
11、PF2
12、=
13、F1F2
14、,即=2c.把b2=a2-c2代入,整理得2+-1=0,解得=-1(舍去)或=.所以e==.答案:9.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,其离心率为,焦距为8;(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到长轴上同侧顶点的距离为.解:(1)由题意知
15、,2c=8,c=4,所以e===,所以a=8,从而b2=a2-c2=48,所以椭圆的标准方程是+=1.(2)由已知所以从而b2=9,所以所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.10.如图所示,椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,A,B是椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴,PF2∥AB,求此椭圆的离心率.解:设椭圆的方程为+=1(a>b>0).如题图所示,则有F1(-c,0),F2(c,0),A(0,b),B(a,0),直线PF1的方程为x=-c,代入方程+=1,得y=±,所以P.又PF2∥AB,所以△PF1F2∽△AOB.所以=,所以=,所以b=2c.
16、所以b2=4c2,所以a2-c2=4c2,所以=.所以e==.[B 能力提升]11.若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点,则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.解析:选A.如图所示,四边形B1F2B2F1为正方形,则△B2OF2为等腰直角三角形,所以=.12.已知椭圆的短半轴长为1,离心率e满足0b>0)的长轴长为短轴长的倍,直线y=x与椭圆交于
17、A,B两点,C为椭圆的右顶点,·=,求椭圆方程.解:根据题意a=b,C(a,0),设A(t,t),则t>0,+=1,所以t=b.所以=,=(a,0),·=ab=b2=,所以b=1,a=,所以椭圆方程为+y2=1.14.(选做题)如图所示,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的,求椭圆的离心率.解:法一:设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a、b、c,则焦点为F1(-c,0),F2(c,0),M点的坐标为(c,b),则△MF1F2为直角三角形.在Rt△MF1F2中,
18、F1F2
19、2+
20、MF2
21、2=
22、MF1
23、
24、2,即4c2+b2=
25、
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