2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质讲义新人教A版.docx

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1、2.2.2　椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴长等于a.(　　)(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c.(　　)(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)√　　　　　　　　　　　　　　　　2．做一做(1)(教材改编P46例4)椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)A．5,3，B．10,6，C．5,3，D．10,6，(2)椭圆x2＋9y2＝36的短轴的端点为________．(3)设P(m，n)是椭圆＋＝1上任意一点，则m的取值范围是__

2、______．答案　(1)B　(2)(0,2)，(0，－2)　(3)[－5,5]解析　(1)变形为＋＝1，∵焦点在y轴上，∴a＝5，b＝3，∴长轴长为10，短轴长为6，e＝.探究1　　椭圆的简单几何性质例1　已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标．[解]　椭圆方程可化为＋＝1.∵m－＝>0，∴m>，∴椭圆焦点在x轴上，即a2＝m，b2＝，c＝＝.由e＝得，＝，∴m＝1.∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.∴a＝1，b＝，c＝.∴椭圆的长轴长为2；短轴长为1；两焦点坐标分别为F1，F2；四个顶点分别为A1(－1,0)，A2(

3、1,0)，B1，B2.拓展提升1.用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式．(2)确定焦点位置．(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质．2．根据椭圆的几何性质求标准方程此类问题通常采用待定系数法，其步骤仍然是“先定型，后计算”，即首先确定焦点位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．【跟踪训练1】　求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)；(2)离心率e＝，焦距为12.解　(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意得解得故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；若焦点在y轴上，设

4、其标准方程为＋＝1(a>b>0)，由题意，得解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.(2)由e＝＝，2c＝12，得a＝10，c＝6，∴b2＝a2－c2＝64.当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.探究2　　椭圆的离心率问题例2　直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)A.B.C.D.[解析]　不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－

5、cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，解得b2＝3c2，又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，所以e＝.故选B.[答案]　B[解法探究]　解答例2有没有其他解法呢？解　如图，由题意得在椭圆中，OF＝c，OB＝b，OD＝×2b＝b，BF＝a.在Rt△OFB中，

6、OF

7、×

8、OB

9、＝

10、BF

11、×

12、OD

13、，即c×b＝a×b，解得＝，所以椭圆的离心率e＝.拓展提升求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c

14、2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．　　　　　　　　　　　　　　　　【跟踪训练2】　(1)已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是(　　)A.B.C.D.答案　C解析　设P(m，n)，·＝c2＝(－c－m，－n)·(c－m，－n)＝m2－c2＋n2，∴m2＋n2＝2c2,2c2－m2＝n2，①把P(m，n)代入椭圆＋＝1得b2m2＋a2n2＝a2b2，②把①代入②得m2＝≥0，∴a2b2≤2a2c2，∴b2≤2c2，∴a2

15、≤3c2，∴e＝≥.又m2＝≤a2，∴a2≥2c2，∴e＝≤.综上知此椭圆离心率的取值范围是.故选C.(2)已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．解　解法一：由已知可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，c2＝a2－b2，F1(－c,0)，因为PF1⊥F1A，所以P，即P，∵AB∥PO，∴kAB＝kOP，即－＝－，∴b＝c，∴a2＝2c2，∴e＝＝.解法二：由