2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质练习新人教A版

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1、2.2.2　椭圆的简单几何性质课时过关·能力提升基础巩固1若点A(m,1)在椭圆x24+y22=1的内部,则实数m的取值范围是(　　)A.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-2,2)D.(-1,1)解析:因为点A(m,1)在椭圆x24+y22=1的内部,所以m24+122<1,整理得m2<2,解得-2b>0)有两个顶点在直线x+2y=2上,则此椭圆的焦点坐标是(　　)A.(±3,0)B.(0,±3)C.(±5,0)D.(0,±5)答案:A3设e是椭圆x

2、24+y2k=1的离心率,且e∈12,1,则实数k的取值范围是(　　)A.(0,3)B.3,163C.(0,3)∪163,+∞D.(0,2)解析:当k>4时,c2=k-4,由题意得14163;当0

3、上且c=3.又∵长轴长是短轴长的2倍,即2a=2×2b,即a=2b.故选A.答案:A5已知椭圆的焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为45,则该椭圆的标准方程为(　　)A.x236+y216=1B.x216+y236=1C.x26+y24=1D.y26+x24=1答案:A6设F1,F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=3a2上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则椭圆E的离心率为(　　)A.12B.23C.34D.45解析:∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,∴∠

4、PF2A=60°,

5、PF2

6、=

7、F1F2

8、=2c.∴

9、AF2

10、=c.∴2c=32a.∴e=34,故选C.答案:C7以坐标轴为对称轴,且过点(5,0),离心率e=255的椭圆的标准方程是__________________. 答案:x225+y25=1或x225+y2125=18已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是正三角形,求该椭圆的离心率.分析:不妨设椭圆的焦点在x轴上,如图,由AB⊥F1F2,且△ABF2是正三角形,得出在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°.

11、令

12、AF1

13、=x,则

14、AF2

15、=2x,由勾股定理,求得

16、F1F2

17、=3x=2c.而

18、AF1

19、+

20、AF2

21、=2a,即可求出离心率e.解:不妨设椭圆的焦点在x轴上,如图.∵AB⊥F1F2,且△ABF2为正三角形,∴在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°.令

22、AF1

23、=x,则

24、AF2

25、=2x.故

26、F1F2

27、=

28、AF2

29、2-

30、AF1

31、2=3x=2c.由椭圆定义可知,

32、AF1

33、+

34、AF2

35、=2a.因此,e=2c2a=3x3x=33.9椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若

36、AB

37、=22,O

38、C的斜率为22,求椭圆的方程.解法一设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,得ax12+by12=1,①ax22+by22=1.②由②-①,得a(x1+x2)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.而y2-y1x2-x1=kAB=-1,y2+y1x2+x1=kOC=22,则b=2a.∵

39、AB

40、=1+k2

41、x2-x1

42、=2

43、x2-x1

44、=22,∴

45、x2-x1

46、=2.又由ax2+by2=1,x+y=1,得(a+b)x2-2bx+b-1=0,∴x1+x2=2ba+b,x1x2=b-1a+b.∴

47、x2-x1

48、

49、2=(x1+x2)2-4x1x2=2ba+b2-4·b-1a+b=4.将b=2a代入,得a=13,b=23.故所求的椭圆方程为x23+23y2=1.解法二由直线方程和椭圆方程联立,得ax2+by2=1,x+y=1,得(a+b)x2-2bx+b-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2).则

50、AB

51、=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=24b2-4(a+b)(b-1)(a+b)2.∵

52、AB

53、=22,∴a+b-aba+b=1.①设C(x,y),则x=x1+x22=ba+b,y=1-x=aa+b.∵OC的斜率为22

54、,∴ab=22.代入①式,得a=13,b=23.故所求的椭圆方程为x23+23y2=1.能力提升1过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为(　　)A.22B.33C.12D.13解析:由点P-c,±b2a,∠F