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时间:2020-03-30
《2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质课时规范训练新人教A版.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.2.2椭圆的简单几何性质基础练习1.若椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则实数m的值是( )A.B.C.2D.4【答案】A 【解析】由题意可得2=2×2,解得m=.2.椭圆+=1和+=k(k>0)具有( )A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长短轴【答案】A 【解析】将+=k转化为椭圆的标准方程+=1,可以发现与+=1有相同的离心率.3.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程为( )A
2、.+=1 B.+=1C.+y2=1 D.+=1【答案】D 【解析】由x2+y2-2x-15=0,知r=4=2a,所以a=2.又e==,所以c=1,则b2=a2-c2=3.所以椭圆的标准方程为+=1.4.(2019年福建泉州期末)已知椭圆+=1的长轴在x轴上,焦距为4,则m等于( )A.8 B.7 C.6 D.5【答案】A 【解析】∵椭圆+=1的长轴在x轴上,∴解得63、_______________.【答案】+=1或y2+x2=1 【解析】所求椭圆的离心率为,又e2=1-=,分情况设标准方程+=1(a>b>0),+=1(a>b>0),然后把点代入,解方程组得+=1或+=1.6.设AB是椭圆Г的长轴,点C在Г上且∠CBA=.若AB=4,BC=,则Г的两个焦点之间的距离为________.【答案】 【解析】如图,设椭圆的标准方程为+=1,由题意,知2a=4,a=2.∵∠CBA=,BC=,∴点C的坐标为C(-1,1).∵点C在椭圆上,∴+=1.∴b2=.∴c2=a2-b2=4、4-=,c=.则Γ的两个焦点之间的距离为2c=.7.已知椭圆的对称轴为坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,若椭圆的长轴长是6且cos∠OFA=,求椭圆的方程.解:∵椭圆的长轴长为6,cos∠OFA=,∴点A不是长轴的顶点,是短轴的顶点.∴5、OF6、=c,7、AF8、===a=3,=.∴c=2,b2=32-22=5.故椭圆的方程为+=1或+=1.8.已知椭圆的焦点是F1(0,-1),F2(0,1),离心率e=.(1)求椭圆的标准方程;(2)设点P在这个椭圆上且9、PF110、-11、PF212、=1,求∠F1P13、F2的余弦值.解:(1)∵c=1,e==,∴a=2,b2=a2-c2=3.又椭圆中心在原点,焦点在y轴上,∴椭圆的方程为+=1.(2)由得14、PF115、=,16、PF217、=.又18、F1F219、=2,∴cos∠F1PF2==.能力提升9.(2019年广东广州模拟)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,若线段PF1的中点在y轴上,∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】如图,设PF1的中点为M,连接PF2.因为O为F1F2的中点,20、所以OM为△PF1F2的中位线.所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.因为∠PF1F2=30°,所以21、PF122、=223、PF224、,25、F1F226、=27、PF228、,由椭圆定义得2a=29、PF130、+31、PF232、=333、PF234、,2c=35、F1F236、=37、PF238、,则e===.故选A.10.(2017年新课标Ⅰ)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞) D.(039、,]∪[4,+∞)【答案】A 【解析】当0<m<3时,焦点在x轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则≥tan60°=,即≥,得0<m≤1;当m>3时,焦点在y轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则≥tan60°=,即≥,得m≥9.所以m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).故选A.11.(2019年江苏徐州模拟)已知椭圆的长轴长为20,短轴长为16,则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________.【答案】[8,10] 【解析】由题意知a=10,b=8,不妨设椭圆方程为+=140、,其上的点M(x0,y0),则41、x042、≤a=10,43、y044、≤b=8,点M到椭圆中心的距离d=.因为+=1,所以y=64=64-x,则d==.因为0≤x≤100,所以64≤x+64≤100,即8≤d≤10.12.已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,若·=0,椭圆的离心率等于,△AOF2的面积为2,求椭圆的方程.解:∵·=0,∴AF2⊥F1F2.设A(x,y)(x>0,y>0),由AF2⊥F1F
3、_______________.【答案】+=1或y2+x2=1 【解析】所求椭圆的离心率为,又e2=1-=,分情况设标准方程+=1(a>b>0),+=1(a>b>0),然后把点代入,解方程组得+=1或+=1.6.设AB是椭圆Г的长轴,点C在Г上且∠CBA=.若AB=4,BC=,则Г的两个焦点之间的距离为________.【答案】 【解析】如图,设椭圆的标准方程为+=1,由题意,知2a=4,a=2.∵∠CBA=,BC=,∴点C的坐标为C(-1,1).∵点C在椭圆上,∴+=1.∴b2=.∴c2=a2-b2=
4、4-=,c=.则Γ的两个焦点之间的距离为2c=.7.已知椭圆的对称轴为坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,若椭圆的长轴长是6且cos∠OFA=,求椭圆的方程.解:∵椭圆的长轴长为6,cos∠OFA=,∴点A不是长轴的顶点,是短轴的顶点.∴
5、OF
6、=c,
7、AF
8、===a=3,=.∴c=2,b2=32-22=5.故椭圆的方程为+=1或+=1.8.已知椭圆的焦点是F1(0,-1),F2(0,1),离心率e=.(1)求椭圆的标准方程;(2)设点P在这个椭圆上且
9、PF1
10、-
11、PF2
12、=1,求∠F1P
13、F2的余弦值.解:(1)∵c=1,e==,∴a=2,b2=a2-c2=3.又椭圆中心在原点,焦点在y轴上,∴椭圆的方程为+=1.(2)由得
14、PF1
15、=,
16、PF2
17、=.又
18、F1F2
19、=2,∴cos∠F1PF2==.能力提升9.(2019年广东广州模拟)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,若线段PF1的中点在y轴上,∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】如图,设PF1的中点为M,连接PF2.因为O为F1F2的中点,
20、所以OM为△PF1F2的中位线.所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.因为∠PF1F2=30°,所以
21、PF1
22、=2
23、PF2
24、,
25、F1F2
26、=
27、PF2
28、,由椭圆定义得2a=
29、PF1
30、+
31、PF2
32、=3
33、PF2
34、,2c=
35、F1F2
36、=
37、PF2
38、,则e===.故选A.10.(2017年新课标Ⅰ)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( )A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0
39、,]∪[4,+∞)【答案】A 【解析】当0<m<3时,焦点在x轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则≥tan60°=,即≥,得0<m≤1;当m>3时,焦点在y轴上,要使C上存在点M满足∠AMB=120°,则≥tan60°=,即≥,得m≥9.所以m的取值范围为(0,1]∪[9,+∞).故选A.11.(2019年江苏徐州模拟)已知椭圆的长轴长为20,短轴长为16,则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________.【答案】[8,10] 【解析】由题意知a=10,b=8,不妨设椭圆方程为+=1
40、,其上的点M(x0,y0),则
41、x0
42、≤a=10,
43、y0
44、≤b=8,点M到椭圆中心的距离d=.因为+=1,所以y=64=64-x,则d==.因为0≤x≤100,所以64≤x+64≤100,即8≤d≤10.12.已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,若·=0,椭圆的离心率等于,△AOF2的面积为2,求椭圆的方程.解:∵·=0,∴AF2⊥F1F2.设A(x,y)(x>0,y>0),由AF2⊥F1F
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