2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质（二）学案新人教B版

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1、2.2.2　椭圆的几何性质(二)学习目标核心素养1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．(重点、难点)　通过对直线与椭圆位置关系相关知识的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1．点与椭圆的位置关系设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则点P与椭圆的位置关系如下所示：(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋＜1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋＞1.2．直线与椭圆的位置关系(1)判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，

2、则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离．(2)根与系数的关系及弦长公式设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长．下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得

3、AB

4、＝，将y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m代入上式，得

5、AB

6、＝＝＝

7、x1－x2

8、，而

9、x1－x2

10、＝，所以

11、AB

12、＝·，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到．(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.例如，直线l：y＝k(x－2)＋1和椭圆＋＝

13、1.无论k取何值，直线l恒过定点(2,1)，而定点(2,1)在椭圆内部，所以直线l必与椭圆相交．思考：直线和椭圆有公共点，联立直线与椭圆的方程组消去y后，推导出的弦长公式是什么？[提示]　

14、AB

15、＝＝

16、y1－y2

17、.1．若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)A．－＜a＜　　　B．a＜－或a＞C．－2＜a＜2D．－1＜a＜1[答案]　A2．已知点(3,2)在椭圆＋＝1上，则(　　)A．点(－3，－2)不在椭圆B．点(3，－2)不在椭圆上C．点(－3,2)在椭圆上D．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上C　[(－3,2)与(3,2)关于y轴对称，由

18、椭圆的对称性可知，选C.]3．经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点且垂直于椭圆长轴所截得的弦长为________．[答案]　点、直线与椭圆的位置关系【例1】　(1)已知点p(k,1)在椭圆＋＝1外，则实数k的取值范围为________．(2)已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.①当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；②当m＝1时，求直线与椭圆的相交弦长；③求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程．[解]　(1)由题意知＋＞1，解得k＜－或k＞，所以k的取值范围为∪.(2)联立消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0.(*)①∵因为直线和椭圆有公共点，∴Δ＝4m2－4×5(m2－1)≥0，即m

19、2≤，∴－≤m≤.所以m的取值范围为.②设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得5x2＋2x＝0.由题意得Δ＞0，由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1·x2＝0，则弦长

20、x1－x2

21、＝·＝×＝.(3)设交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于(*)式，由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1·x2＝，则弦长

22、x1－x2

23、＝·＝·.由上式可知，当m＝0时，弦最长．此最长弦所在的直线的方程为y＝x，即x－y＝0.(1)有关直线与椭圆的位置关系问题通常有两类问题：一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的值或取值范围，两类问题在解决方法上是一致的，都是要将直线方程和椭圆方程联立，利

24、用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系求解．(2)在弦长公式

25、AB

26、＝

27、x1－x2

28、＝

29、y1－y2

30、中，k为直线的斜率，在计算

31、x1－x2

32、或

33、y1－y2

34、时，一定要注意“整体代入”这种设而不求的思想，即利用根与系数的关系，得到

35、x1－x2

36、＝或

37、y1－y2

38、＝整体代入求解．1．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1，试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)没有公共点．[解]　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组：消去y，得：9x2＋8mx＋2m2－4＝0，①方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144，(

39、1)当Δ>0，即－33时，方程①没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点.弦长及弦中点问题【例2】　已知椭