2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质（一）学案新人教B版

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1、2.1.2　椭圆的几何性质(一)学习目标核心素养1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．(重点、难点)1.由椭圆的标准方程与性质之间的互求，培养学生的数学运算素养.2.通过对求椭圆离心率的探究，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a＞b＞0)＋＝1(a＞b＞0)图形对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)范围x∈[－a，a]，y∈[－b，b]x∈

2、[－b，b]，y∈[－a，a]顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴

3、B1B2

4、＝2b，长轴

5、A1A2

6、＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距

7、F1F2

8、＝2c离心率e＝(0＜e＜1)思考1：椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？[提示]　最大距离：a＋c；最小距离：a－c.思考2：椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)中a，b，c的几何意义是什么？[提

9、示]　在方程＋＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．即a，b，c正好组成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．1．若椭圆＋y2＝1(a>0)的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为(　　)A．　　B．　　　C.　　　D.A　[由a＝2b＝2，b＝1得c＝，e＝＝.]2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为(　　)A．(－1,0)(1,0)B．(－6,0)，(6,0)C．(－，0)，(，0)D．(0，－)，(0，)D　[x2＋＝1焦点在y轴上，长轴端点

10、坐标为(0，－)，(0，)．]3．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为(　　)A．　　B．C.　　　D.A　[＋y2＝1，a＝2，b＝1，c＝＝，e＝＝.]由椭圆方程求椭圆的几何性质【例1】　求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．[思路探究]　化为标准方程，确定焦点位置及a，b，c的值，再研究相应的几何性质．[解]　把已知方程化成标准方程＋＝1，可知a＝5，b＝4，所以c＝3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝＝，两个焦点分别是F1(－

11、3,0)和F2(3,0)，椭圆的四个顶点是A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－4)和B2(0,4)．解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.1．求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．[解]　椭圆的标准方程为＋＝1，则a＝9，b＝3，c＝＝6，长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，焦点坐标为(0,6)，(0，－6)，顶点坐标(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(

12、－3,0)，离心率e＝＝.由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程【例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.[思路探究]　先判断焦点位置并设出标准方程，再利用待定系数法求参数a，b，c.[解]　(1)设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．由已知得2a＝10，a＝5.e＝＝，∴c＝4.∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.(2)依题意可设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0

13、)．如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且

14、OF

15、＝c，

16、A1A2

17、＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为＋＝1.利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法，而其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的方程，解方程(组)求得参数.提醒：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距.2．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1

18、)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8.(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为.[解]　(1)由题意知，2c＝8，c＝4，∴e＝＝＝，∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，∴椭圆的标准方程是＋＝1.(2)由已知得∴从而b2＝9，∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.求椭圆的离心率[探究问题]1．求椭圆离心率的关键是什么？[提示]　根据e＝，a2－b2＝c2，可知要求e，关键是找出a，b，c的等量关系．2．a，b，c对椭圆形状有何影响