高中数学 第1章 解三角形章末归纳提升 苏教版必修5.doc

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1、【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学第1章解三角形章末归纳提升苏教版必修5解三角形正弦定理定理＝＝＝2R变形类型已知两角和一边，解三角形已知两边和其中一边的对角应用举例测量问题平面几何问题航海问题余弦定理定理a2＝b2＋c2－2bccosA变形类型已知两边及夹角，解三角形已知三边，解三角形解三角形的基本类型和方法在三角形的六个元素中，已知其中的三个元素(除已知三角外)，就能利用正、余弦定理求出其它元素，常见类型及方法如下：已知条件应用定理一般解法一边和两角，如a，B，C正弦定理A＋B＋C

2、＝180°，求A，由正弦定理求出b与c，有解时，只有一解续表　　已知条件应用定理一般解法两边和夹角，如a，b，C余弦定理正弦定理由余弦定理求出第三边c，由正弦定理求出较小边所对的角，再由A＋B＋C＝180°，求出另一角，有解时，只有一解三边，如a，b，c余弦定理由余弦定理求出A，B，再利用A＋B＋C＝180°，求出C，有解时，只有一解两边和其中一边的对角，如a，b，A正弦定理由正弦定理求出B，由A＋B＋C＝180°，求出C，再利用正弦定理求出c，可有两解、一解或无解　在△ABC中，a＝4，A＝60°，当b满

3、足下列条件时，解三角形：(1)b＝；(2)b＝2＋；(3)b＝；(4)b＝8.【思路点拨】　审清已知条件→判断解题类型→选择正、余弦定理→求解【规范解答】　(1)∵a＞b，∴B为锐角，由正弦定理，sinB＝sinA＝，∴B＝30°，C＝90°，由正弦定理c＝·sinC＝.(2)由正弦定理sinB＝·sinA＝×＝，当B为锐角时B＝75°，C＝45°.由正弦定理c＝·sinC＝，当B为钝角时B＝105°，C＝15°，由正弦定理c＝·sinC＝2－.(3)法一　由正弦定理sinB＝·sinA＝1，∴B＝90°，

4、C＝30°，由正弦定理c＝·sinC＝.法二　设第三边长为c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，∴16＝＋c2－c，即c2－c＋＝0.∴(c－)2＝0，∴c＝，由正弦定理sinC＝·sinA＝.∵a＞c，∴C为锐角，∴C＝30°，B＝90°.(4)由正弦定理sinB＝·sinA＝＞1，B无解，三角形无解．(1)在△ABC中，C＝45°，A＝60°，b＝2，求B及a，c的值；(2)在△ABC中，a＝2，b＝2，c＝＋，求△ABC的三个内角．【解】　(1)∵A＝60°，C＝45°，∴B＝180°－(A

5、＋C)＝180°－(60°＋45°)＝75°.由正弦定理＝，得a＝＝＝3－.∵＝，∴c＝＝＝2(－1)．(2)∵cosA＝＝＝，cosB＝＝＝，且A，B都是△ABC的内角，∴A＝30°，B＝45°，∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴△ABC的三个内角分别是30°，45°，105°.判断三角形的形状判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解．在解三角形时常用的结论有：1．在△ABC中，A＞B⇔

6、a＞b⇔sinA＞sinB⇔cosA＜cosB.2．在△ABC中，a2＋b2＜c2⇔cos<0⇔＜C＜π，a2＋b2＝c2⇔cosC＝0⇔C＝，a2＋b2＞c2⇔cosC＞0⇔0＜C＜.　已知△ABC中，sinA＝，试判断△ABC的形状．【思路点拨】　若化A＝180°－(B＋C)，利用三角变换较为繁琐，因而可考虑利用正、余弦定理化为边的关系，利用代数恒等变形进行求解．【规范解答】　由正弦定理和余弦定理，得＋＝，∴b＋c＝＋，∴＝，∴＝，∴(b2＋c2－a2)(＋)＝0.∵＋≠0，∴b2＋c2－a2＝0，∴b

7、2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．在△ABC中，已知3b＝2asinB，且cosB＝cosC，角A是锐角，则△ABC的形状是________．【解析】　由3b＝2asinB，得＝，根据正弦定理，得＝，所以＝，即sinA＝.又角A是锐角，所以A＝60°.又cosB＝cosC，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C.故△ABC为等边三角形．【答案】　等边三角形解三角形的综合问题以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中一类热点题型.在具体解题中，除了熟练使用正

8、弦、余弦定理这个工具外，还要注意三角形内部的隐含条件的应用，注意与方程、向量、不等式等知识的融合渗透，注意函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用．　△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且8(sin)2－2cos2A＝7.(1)求角A的大小；(2)若a＝，b＋c＝3，求△ABC的面积．【思路点拨】　化简已知等式→解方程求cosA→求角A→利用余弦定理求bc→求面积．【规范解答】　(1)∵8·