高中数学 第3章 不等式章末归纳提升 苏教版必修5.doc

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1、【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学第3章不等式章末归纳提升苏教版必修5不等式不等关系一元二次不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式的概念一元二次不等式的应用基本不等式基本不等式的证明基本不等式的应用比较大小、证明不等式求最值、解决实际生活中的问题二元一次不等式组与简单的线性规划问题二元一次不等式(组)与平面区域简单的线性规划在实际生活中的应用简单的线性规划问题一元二次不等式的解法及应用1.对于一元二次不等式的求解，要善于联想两方面的知识：(1)二次函数的图象，(2)一元二次方程的实根．切忌死记硬背，要从根本上理解求法的合理性．2．对于含参数的一

2、元二次不等式，要注意分类讨论，掌握分类讨论的层次，一般顺序如下：(1)二次项系数，(2)Δ判别式符号，(3)两根的大小．3．对于一元二次不等式恒成立问题，一般转化成不等式的解集为R求解，若二次项系数含有字母，则要注意分类讨论．　已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x

3、x＜1或x＞b}．(1)求a，b的值；(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.【思路点拨】　(1)转化为方程ax2－3x＋2＝0有两相异根1，b(b＞1)，求解．(2)将a，b代入化简不等式，对c的值分类讨论，解不等式．【规范解答】　(1)因为不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x

4、x＜1或x

5、＞b}．所以x1＝1，x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b＞1.由根与系数的关系得解得(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，即x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.①当c＞2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x

6、2＜x＜c}．②当c＜2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x

7、c＜x＜2}．③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为∅.所以当c＞2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x

8、2＜x＜c}；当c＜2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x

9、c＜x＜2}；当c＝

10、2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为∅.解关于x的不等式：x2－2ax－3a2＜0(a∈R)．【解】　由x2－2ax－3a2＜0，得(x－3a)(x＋a)＜0.又x2－2ax－3a2＝0的两根分别为3a，－a，(1)当3a＞－a，即a＞0时，原不等式的解集为{x

11、－a＜x＜3a}；(2)当3a＝－a，即a＝0时，原不等式的解集为∅；(3)当3a＜－a，即a＜0时，原不等式的解集为{x

12、3a＜x＜－a}.简单的线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题．其常见题型有以下三种：(1)求目标函数的最值或范围；(2)求目

13、标函数取得最值时的点的坐标；(3)求目标函数取得最值时相关量的范围．　实数x，y满足不等式组求z＝的取值范围．【思路点拨】　本题应用线性规划进行处理，目标函数z＝的几何意义是可行域内一点(x，y)与定点(－1,1)连线的斜率．【规范解答】　y≥0表示x轴及其上方的区域，x－y≥0表示直线y＝x上及其右下方的区域，2x－y－2≥0表示直线2x－y－2＝0上及其右下方的区域．所给不等式组表示的区域为如图所示的阴影部分，目标函数z＝表示阴影部分上的点与定点(－1,1)的连线的斜率，由图可见点(－1,1)与点(1,0)连线的斜率为－，为最小值，连线斜率的最大值趋近于1，但永远

14、达不到，故－≤z＜1.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？【解】　设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知：目标函数z＝x＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一族直线x＋

15、0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点，解方程组得x＝4，y＝6.此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．∵7＞0，∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值．答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.基本不等式及其应用基本不等式是高考的热点之一，利用基本不等式可以比较大小、求函数最值、求字母参数的取值范围、证明不等式等．利用基本不等式解题时，要注意满足“一正、二定、三