2020_2021学年高中数学第1章解三角形章末综合提升学案新人教A版必修5.doc

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1、第1章解三角形[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]利用正、余弦定理解三角形【例1】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．[解]　(1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B).又A，B∈(0，π)，故0

2、A＝2B.(2)由S＝，得absinC＝，故有sinBsinC＝sin2B＝sinBcosB，因为sinB≠0，所以sinC＝cosB，又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.-9-当B＋C＝时，A＝；当C－B＝时，A＝.综上，A＝或A＝.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，

3、由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.1．如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos∠ADC＝.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．[解]　(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝×－×＝.-9-(2)在△ABD中，由正弦定理，得BD＝＝＝3.在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2

4、－2AB×BC×cosB＝82＋52－2×8×5×＝49.所以AC＝7.判断三角形的形状【例2】　在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．思路探究：利用正弦定理将已知条件中边的关系，转化为角的关系求角或利用余弦定理，由三边之间的关系确定三角形的形状．[解]　法一：(正弦定理边化角)由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC.∵B＝60°，∴A＋C＝120°.∴2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC.展开整理得sinC＋cosC＝1.∴sin(C＋30°)＝1.∵0°

5、.∴C＝60°，则A＝60°.∴△ABC为等边三角形．法二：(余弦定理法)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.∵B＝60°，b＝，∴＝a2＋c2－2accos60°，化简得(a－c)2＝0.∴a＝c.又B＝60°，∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．-9-根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式或不等式)判断三角形的形状时，需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系．判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型，此类题目要求准确地把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰三角形和不等边三角形；三角形按角的关

6、系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解．2．在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状．[解]　由已知＝＝＝，得＝.可有以下两种解法．法一：(利用正弦定理，将边化角)由正弦定理得＝，∴＝，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B.∵B，C均为△ABC的内角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°.即B＝C或B＋C＝90°.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二：(利用余弦定理，将角化边)∵＝，

7、∴由余弦定理得＝，即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2).∴a2c2－c4＝a2b2－b4，即a2b2－a2c2＋c4－b4＝0.∴a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0，即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0.-9-∴b2＝c2或a2－b2－c2＝0，即b＝c或a2＝b2＋c2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．正、余弦定理的实际应用【例3】如图所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向上8km处，位于景点B的

8、正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上．已知AB＝5km.(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(2)求景点C与景点D之间的距离．(结果精确到0.1k