2021_2022学年高中数学第2章数列章末综合提升学案含解析新人教A版必修5.doc

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1、学习第2章数列[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]等差(比)数列的基本运算【例1】　等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.-9-/9学习[解](1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.设{bn}的公差为d，则有解得所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.在等差数列和等比数列的通项公式a

2、n与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(q)，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用．1．已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5>a1a9，求a1的取值X围．[解](1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a＝1×(a1＋2)，即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2

3、.(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9，所以5a1＋10>a＋8a1，-9-/9学习即a＋3a1－10<0，解得－5

4、3an.②①－②得Sn－Sn－1＝3an＋1－3an，∴3an＋1＝4an，∴＝，又a2＝S1＝a1＝.∴n≥2时，an＝·，不适合n＝1.∴an＝数列通项公式的求法-9-/9学习(1)定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目．(2)已知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝求解．(3)累加或累乘法形如an－an－1＝f(n)(n≥2)的递推式，可用累加法求通项公式；形如＝f(n)(n≥2)的递推式，可用累乘法求通项公式．2．设数列{an}是首项为1的正项数列，且an＋1－an＋an＋1

5、·an＝0(n∈N*)，求{an}的通项公式．[解]∵an＋1－an＋an＋1·an＝0，∴－＝1.又＝1，∴是首项为1，公差为1的等差数列．故＝n.∴an＝.等差(比)数列的判定【例3】　数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*).(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列；(2)设＝，求证：{}是等差数列．思路探究：分别利用等比数列与等差数列的定义进行证明．[证明](1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2-9-/9学习＝4an＋1－4an.＝＝＝＝2.因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝

6、3.所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，所以－＝3.所以＋1－＝3，且c1＝＝2，所以数列{}是等差数列，公差为3，首项为2.等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列；＝q(q为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列．(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列；a＝an·an＋2(an≠0)⇔{an}是等比数列．(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：Sn

7、＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数列．特别提醒：①前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定．②-9-/9学习若要判定一个数列不是等差(比)数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差(比)即可．3．数列{an}的前n项和为Sn，若an＋Sn＝n，＝an－1.求证