【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 第1章 解三角形章末归纳提升 苏教版必修5

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1、【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学第1章解三角形章末归纳提升苏教版必修5【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学第1章解三角形章末归纳提升苏教版必修5解三角形正弦定理定理＝＝2R变sinAsinBsinC形类型已知两角和一边，解三角形已知两边和其中一边的对角应用举例测量问题平面几何问题航海问题余弦定理定理a＝b＋c－2bccosA变形类型已知两边及夹角，解三角形已知三边，解三角形222abc求出其它元素，常见类型及方法如下：1在△ABC中，a＝4，A＝60°，当b满足下列条件时，解三角形：(

2、1)b432683＝；(2)b＝2＋(3)b＝；(4)b＝8.333【思路点拨】审清已知条件→判断解题类型→选择正、余弦定理→求解b1【规范解答】(1)∵a＞b，∴B为锐角，由正弦定理，sinBsinA＝，∴B＝30°，a2C＝90°，由正弦定理c＝2622＋3b36＋2(2)由正弦定理sinB＝·sinA＝×B为锐角时B＝75°，a42483·sinC＝sinA3aC＝45°.由正弦定理c＝46C＝，当B为钝角时B＝105°，C＝15°，由正弦sinA3aa26定理c·sinC＝22－sinA3(3)法一由正弦定理sinB＝·

3、sinA＝1，∴B＝90°，C＝30°，由正弦定理c＝43·sinC＝sinA3法二设第三边长为c，由余弦定理a＝b＋c－2bccosA，64383162∴16＝c－，即c2－c＋0.333343243∴(c－)＝0，∴c，33222baac1由正弦定理sinC＝A.a2∵a＞c，∴C为锐角，∴C＝30°，B＝90°.(4)由正弦定理sinBA＝3＞1，B无解，三角形无解．ba(1)在△ABC中，C＝45°，A＝60°，b＝2，求B及a，c的值；2(2)在△ABC中，a＝2，b＝22，c＝6＋2，求△ABC的三个内角．【解】(1

4、)∵A＝60°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝180°－(60°＋45°)＝75°.abbsinA由正弦定理a＝＝32－6.sinAsinBsinB6＋24bbsinCc2(3－1)．sinCsinBsinB624c2232∵b2＋c2－a22?2＋?6＋2?2－22(2)∵cosA＝2bc2×22×?6＋2?＝32a2＋c2－b222＋?6＋2?2－?22?22cosB＝＝，2ac26＋2?且A，B都是△ABC的内角，∴A＝30°，B＝45°，∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴△A

5、BC的三个内角分别是30°，45°，105°.用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解．在解三角形时常用的结论有：1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB?cosA＜cosB.ππ22222222．在△ABC中，a＋b＜c?cos<0＜C＜π，a＋b＝c?cosC＝0?C＝，a＋22b2＞c2?cosC＞0?0＜C＜.sinB＋sinC已知△ABC中，sinA＝ABC的形状．cosB＋cosC【思路点拨】若化A＝180°－(B＋C)，利用三角变换较为繁琐，因而可考虑利用正、余弦定理化为边的关系

6、，利用代数恒等变形进行求解．π2a2＋c2－b2a2＋b2－c2b＋c【规范解答】＋2ac2abaa2＋c2－b2a2＋b2－c2∴b＋c＝＋2c2b32c－a－c＋ba＋b－c－2b∴，2c2b22222222c2＋b2－a2a2－b2－c2∴，cb11222∴(b＋c－a)(＝0.cb11222∵b＋c－a＝0，cb2∴b＋c＝a，∴△ABC为直角三角形．在△ABC中，已知3b＝3asinB，且cosB＝cosC，角A是锐角，则△ABC的形状是________．22b23aba【解析】由3b＝23asinB，得sinB3si

7、nBsinA以23a3，即sinA＝.sinA32又角A是锐角，所以A＝60°.又cosB＝cosC，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C.故△ABC为等边三角形．【答案】等边三角形a是近几年高考中一类热点题型.在具体解题中，除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外，还要注意三角形内部的隐含条件的应用，注意与方程、向量、不等式等知识的融合渗透，注意函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且8(sin＝7.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，b＋c＝3，求△ABC的面积．【思

8、路点拨】化简已知等式→解方程求cosA→求角A→利用余弦定理求bc→求面积．【规范解答】(1)∵8·(sinB＋C2)－2cos2A2B＋C2－2cos2A＝7，241－cos?B＋C?22－2(2cosA－1)＝7，整理得4cosA－4cosA＋1＝0，解得c