线性代数总复习教案.doc

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1、2008-2009-2线性代数A总复习I.试卷题型及分数分配大致：选择题20分，填空题20分，计算题54分，证明题6分II.重要例题、习题：第一章例题：P3例2；P5例4；P12例7；P13例9；P18例7（另解）；P21例13；P22例14；习题：P26：1(1),2(2,4),3,4(1,2),9.11.12第二章例题：P35例4、例5；P39例7；P40例8；P41例9；P44例10、11、12、13；习题：P54:1(1,2,4,5),2；7.8,10(1,3),11（1）.14，15.16，19，22,,23,27.第三章例题：P6

2、4例2；P65例3；P68例6；P73例10；P75例11；12.习题：P79:1(3,4),4(1),5(1),6.10(3),13(2),14(1.4),17第四章例题：P84例1；P85例2；P88例5；P88例6；P93例11；P97例12；P101例16；P103例1821；P106例24.25；习题：P106:1,2,4，9,12(2),14.20(1),26(2),27,28,34,37.38第五章例题：P114例2；P115例3；P118–120例5、例6、例7、例8、例9；P125例12；P126例13；P130例14；P

3、131例15;例16;P133例17.习题：P134:2(1),3(1),6(1),12,13,19(1),20,21,22,28(1),31(1),33.III.基本内容第一章行列式1.例:计算下列各题:(1)求逆序数;(2)确定行列式中项的符号,(3)计算(=-7)，(4)计算（D=31）2.行列式的性质及按第i行（列）展开：注意:3.克莱姆法则:AX=b(1)当时，(2)AX=0有非零解。例：当k为何值时，方程组有非零解。[∴k=2或-1]第二章矩阵及其运算1矩阵的简单运算及性质:例：设，求AB,BA注意(1)一般地，AB¹BA,(2)

4、AC=BC不一定有A=B.(3);(4)为对称矩阵.(5).,(6),(7)2逆矩阵Δ为可逆且.例:求的逆矩阵例：解方程：AX=B，，()第三章矩阵的初等变换与线性方程组1.行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形例:化矩阵为行最简形2初等矩阵：单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵3解矩阵方程，[特别地，当B=E时]例设,,试求解方程解:由∴4求矩阵的秩[若，则]例:求矩阵的秩。第四章向量组的线性相关性1向量的线性组合Δb是的线性表示有解2向量组的线性表示(及)ΔB能由A线性表示(B中每个向量都能由A组向量线性表示)B=AKR(A)=R(A,B)即

5、3A、B两向量组等价A,B能相互线性表示R(A)=R(B)=R(A,B)4向量组线性相关(线性无关)方程组有非零解(只有零解)[]注意:线性相关其中至少有一向量是其余向量的线性组合例：已知b=(k,3,2)T，(2,-1,3)T，(3,2,1)T，问k为和值时b,，线性向关,并用，线性表示b。解：由行列式为0得k=5，令,得由，得，例：设线性无关,证明：,,也线性无关证：令,则：∵线性无关∴∴∴也线性无关结论(定理5)向量组线性相关向量组线性相关;反之,向量组线性无关向量组线性无关（2）当向量维数n

6、n维向量线性相关（3）若线性无关，而线性相关，则b可由向量组A线性表示，且表示法唯一5．向量组A的最大线性无关组A0：(1)向量组线性无关，(2)A中而任意个向量都线性相关注意：A的最大线性无关组有多个，但每个最大线性无关组所含向量个数相等例：,,,,求该组向量的一个最大无关组,并用该最大无关组表示其余向量解∴,,是一个最大无关组,且6．齐次线性方程组:AX=0(1)当时，有唯一解：零解；(2)当时，有无穷多组解。(自由变量数为n-r)，其通解为,其中S0：一个基础解系7．线性方程组有解(1)当时有唯一解;(2)当时有无穷多组解。(自由变量个

7、数为n-r)其通解为：++…+(一个特解)例：用基础解系表示如下非齐次线性方程组的通解:()8向量空间的有关概念(1)向量集构成向量空间的条件,会判断给出的向量集是否为向量空间(2)会判断给出的向量组是否为一个基,并能由基来表示给出的向量.例：设，验证是的一个基第五章相似矩伸和二次型一．内积、范数及正交的有关概念。1．施密特正交化例：试用施密特正交化将规范正交化.(,然后单位化即可)2．A为正交矩阵（即），二.方阵的特征值与特征向量1、，则称为A的特征值，x为A的特征向量2．特征值的性质：(1)，(2)3．特征向量的求法：（1），（2）由得非

8、零解，则就是A的与对应的特征向量4．有关性质：（1）设是A的特征值，则(1)是的特征值,(2)是的特征值（2）若互不相等，则对应的特征向量线性无关三.相似1、B、A