线性代数 总复习讲义

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1、把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）．个不同的元素的所有排列的种数用表示，且　　　．１　全排列逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列．在一个排列中，若数，则称这两个数组成一个逆序．一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数．２　逆序数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．方法2方法1分别计算出排在前面比它大的数码之和，即分别算出这个元素的逆序数，这　个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．３　计算排列

2、逆序数的方法定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．４　对　换５n阶行列式的定义６n阶行列式的性质１）余子式与代数余子式７　行列式按行（列）展开２）关于代数余子式的重要性质８　克拉默法则克拉默法则的理论价值定理定理定理定理１　矩阵的定义２　方阵　列矩阵　行矩阵两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵．３　同型矩阵和相等矩阵４　零矩阵　

3、单位矩阵交换律结合律５　矩阵相加运算规律６　数乘矩阵７　矩阵相乘运算规律n阶方阵的幂８　方阵的运算方阵的行列式运算规律转置矩阵９　一些特殊的矩阵对称矩阵反对称矩阵幂等矩阵正交矩阵对角矩阵对合矩阵上三角矩阵主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵．下三角矩阵主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵．伴随矩阵定义１０　逆矩阵相关定理及性质矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于论证．分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似．１１　分块矩阵一、矩阵的运算二、逆矩阵的运算及证明三、矩阵的分块运算典　型　例　题１　初等变换的

4、定义换法变换倍法变换消法变换初等变换逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．反身性传递性对称性２　矩阵的等价三种初等变换对应着三种初等矩阵．３　初等矩阵由单位矩阵　经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．（１）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵．（２）倍法变换：以数（非零）乘某行（列），得初等矩阵．（３）消法变换：以数　乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵．经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖

5、线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元．例如４　行阶梯形矩阵经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0．例如５　行最简形矩阵对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0．例如６　矩阵的标准形所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形　是这个等价类中形状最简单的矩阵．定义７　矩阵的秩定义定理行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．８　矩阵秩的

6、性质及定理定理定理９　线性方程组有解判别定理齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解．非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解．10　线性方程组的解法定理11　初等矩阵与初等变换的关系定理推论一、求矩阵的秩二、求解线性方程组三、求逆矩阵的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法典　型　例　题分量全为实数的向量称为实向量．分量全为复数的向量称为复向量．１　向量的定义定义向量的相等零向量分量全为0的向量称为零向量．负向量向量加法２　向量

7、的线性运算数乘向量向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算，满足下列八条运算规则：除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组．定义３　线性组合定义４　线性表示定理定义定义５　线性相关定理定理定义６　向量组的秩等价的向量组的秩相等．定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩．定理设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩．推论１推论２推论３（最大无关组的等价定义）设向量组　是向量组　的部分组，若向量组线性无关，且向量组　能由向量组　线性表示，则向

8、量组　是向量组　的一个最大无关组．７　向量空间定义设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．定义８　子空间定义９　基与维数向量方程１０　齐次线性方程组解向量解向量的性质性质１性质２定义定理定义向量方程１１　非齐次线性方程组解向量的性质性质１性