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时间:2020-07-05
《柯西收敛准则的3种不同证法.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、柯西收敛准则的不同证法方法一:用定理2证明柯西收敛准则证明:必要性:易知,当{an}有极限时(设极限为a),{an}一定是一个柯西数列。因为对任意的ε>0,总存在N(N为正整数)。使得当n,m>N时,有
2、an-a
3、<ε,
4、am-a
5、<ε∴
6、an-am
7、
8、an-a
9、+
10、am-a
11、<ε,即{an}是一个柯西数列。充分性:先证明柯西数列{an}是有界的。不妨取ε=1,因{an}是柯西数列,所以存在某个正整数N0,当n>N0时有
12、an–aNo+1
13、<1,亦即当n,N>N0时
14、an
15、
16、aNo+1
17、+1即{an}有界。不妨设{
18、an}[a,b],即aanb,我们可用如下方法取得{an}的一个单调子列{ank}:(1)取{ank}{an}使[a,ank]或[ank,b]中含有无穷多的{an}的项;(2)在[a,ank]或[ank,b]中取得ank+1{an}且满足条件(1)并使nk+1>nk;(3)取项时方向一致,即要么由a→b要么由b→a。由数列{an}的性质可知以下三点可以做到,这样取出一个数列{ank}{an}且{ank}是一个单调有界数列,必有极限设为a,下面我们证明{an}收敛于a。因为ank=a,则对ε>0,正整数K,当k>K时
19、
20、ank-a
21、<。另一方面由于{ank}是柯西数列,所以存在正整数N,使得当n,m>N时有
22、an–am
23、<,取n0=max(k+1,N+1),有n0nN+1>N以及>k+1>k。所以当n>N时
24、an-a
25、
26、an–am
27、+
28、am-a
29、<ε。∴{an}收敛于a。方法二:用定理3证明柯西收敛准证证明:必要性显然。下证充分性。设{xn}是柯西数列,即对任意的ε>0,存在N>0,使得当n,m>N时,有
30、xn–xm
31、<ε(1)令yn=sup{xn+p
32、p=1,2,…}zn=inf{xn+p
33、p=1,2,…}显然,yn是单调递减
34、数列,zn是单调递增数列。取M=max{x1,x2,…,xN,xN+1}。由(1),不难知xnM,n=1,2,…。于是,yn和zn都是有界数列。根据单调有界原理,yn和zn都是收敛数列。不妨设yn→a zn→b n→∞(2)由yn和zn的构造以及(1),我们有znxnyn n=1,2,…(3)yn-zn<ε n>N(4)于是由(4),有a-bε,而ε是任意正数,因此a=b(5)最后,根据(2),(3)和(5),我们有xn→a(n→∞)。这就完成了证明。方法三:用定理4证明柯西收敛准则证明:必要性是显
35、然的。下面只证充分性。根据条件,对ε=1,存在n0,当n,m>n0时,有
36、xn–xm
37、<1。于是
38、xn
39、
40、xn–xn0+1
41、+
42、xn0+1
43、<1+
44、xn0+1
45、。令M=max{
46、x1
47、,x2,…,
48、xn0
49、,1+
50、xn0+1
51、},则
52、xn
53、M(n=1,2,…),故{xn}有界。因此存在收敛子列{xnk},设xnk=C,于是由下列不等式
54、xn-C
55、
56、xn-xnk
57、+
58、xnk-C
59、可知xn=C。
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