资源描述：
《皮克定理及其证明.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第17卷第1期苏州教育学院学报、勺1.17..0002年3月卜心.002皮克定理及其证明詹国梁、一引言,,,,数年前国外某次数学会议的主办者为了增添地方特色特地邀请了当地的一位林业官员向。,与会者介绍一系列有关数学应用在森林工业中的突出例子其中有一个例子就是关于如何由森。林巡航车从树木的位置确定的地域范围来计算含在其中的多边形的面积其具体方法是用一张画,有由树木构成点阵的透明薄膜覆盖在多边形地域图上再根据多边形边界上点数的一半加上多边,。形内部的点数从而得出多边形的面积虽然这位官员并未意识到他基本上(稍有误差
2、)在使用十、iPck)定理:分完美实用的皮克(=,一个简单的格点多边形(即以格点为顶点而各边不相交叉的多边形)的面积S1+告B一1其。中I与B分别表示这个多边形内部与边界上的格点数··,GeorglAexanderiPck)1859这个定理的发现者乔治亚历山大皮克(年生于奥地利首都维也,,。纳1943年死于Theresienstadt集中营他为格点几何与微分几何做出卓越的贡献皮克定理发表,’。于1899年并由波兰数学家史坦因豪斯(SetinhauS)撰写的一本佳作而传遍世界为纪念皮克定,,。理发表10周年引起
3、读者对该定理的兴趣与进一步研究特撰此文二、皮克定理的证明,,,。皮克定理有多种证法比较常见的一种可阅参考文献3这种证法巧妙但曲折本文介绍一,、,种先通过运用分类思想与爬坡式推理证明特殊情形(格点矩形格点三角形)下的皮克定理后用。,,归纳法证明一般情形(格点多边形)下的皮克定理其全部证明过程有序而自然按步就班容易掌。握1格点矩形的皮克定理,格点矩形的面积S二I+专B一1其中I与B分别表示尸曰日口口口勺刁。团矩形内部与边界上的格点数门门门口口/口口。:ABCI〕的长和宽分别是m和n了尸证明设矩形容易从J日尹尸,,
4、图一上看出S二I“(m一1)(n一1)B二2(m+1)+2(n口{厂巨口口tn一1)二2(m+n)因为mn=(m一1)(n一1)+(m+n)一1所以S二I十音B一1图一2,格点三角形的皮克定理一,一。格点三角形的面积S=I+雀Bl其中I与B分别表示三角形内部与边界上的格点数:“”,。证明如用矩形把格点三角形箍起来使得矩形的至少一个顶点与三角形的一个顶点重合,,:这样格点三角形在矩形中所处的各种不同状态共有如下五类66///厂少)厂刀厂图二(1)第一类情形、、、、,,ac如图二(l)设月3BCAC内含有的格点
5、数分别为b且因△ABC中有I个内点则矩形,CI〕就有21+C个内点故有△ABC的面积=告AB(刀的面积二告〔(21+C)+寺(a2+Zb十4)一BA1I+a+b+e+3)一1=I+音B一1卜告((2)第二类情形下面约定I△与B△分别表示△月3C的内部格点数与边界上的格点数;IBA与BBA表示俄腮。AB边的内部格点数与A13边上全部格点数,:如图三所,/’`示闷由第,`一类情’形沪的J结`论`得J`产””囚,/、门夕“曰。”~一乙△AIX二的面积=协A以二+告B△月1二一1巨口才因口口口△BCD的面积=I△+告
6、B△IrD一1,哪洲r卜所以△A13C的面积二(I△八Ix飞十I△)叮门团门口冈口十专(B△A印+B△)一2①cBD团口口口口因I△A以二十告B△A!汇一1=(I△月工几+I。十IcD)哪十告(B△八以!十B△EDC一ZlcD一2)一1=(I△八。C+I△l获{D)+告(B△Al犯+B△)一2图三眠,由①得△ABC的面积二协Al义二十告B△ABC一1即△赶3C的面积=I十告B一1(3)第三类情形口口口口口月团,r由第一类情形的结论得:如图四所示习于护.口沪△ALC的面积二协AL(十告B△赶犯一1曰门口r口口△
7、ABL)的面积二I△ABD十专B△八I3D一1国巨日广口口,△ABC的面积=△ADC的面积一△ABD的面积所以=(I△一I△ABD)+告(B△ADC一B△ABI))②姗I△A3二十专B△月犯一1图四二(I△一I△一IBA)十专B△一1③姗BDA战且B△Al艾二琢c+B咒+BAB一3=13AC十(1义l〕一BBD+1)十BAI3一3,从而c十玫习二B△A玫二+BBD十2一B又B△闪以几二BAc+1又1)十B月〕一3孤抓I协“BBA+BfA〕+I3BI)一3⑤姗④一⑤得:B△卜B△ABD二BAc+1戈J)一BAB
8、一13BI)二B△A以{十I占DH+2一ZBAB一B】刃xAI,二B△lAr十2一2圣加,于是B△A砚=(B△越r一l协))+213AB一2脚、、又由③⑥②可得△压二十告△一二△一△〕一十专△八一△十弘一一二△。一△十告△一二△的面积即△ABC的面积=I十告B一1溉孙第四类情形如图五所示,由第一类情况所给出的结论得:口口口因、!△ABD的面积二I△+告B△一1BDABDAZ口口女△BEC的面积二I△
