狄利克雷定理的证明

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1、为证明定理本身，我先证明几个引理。引理1(Bessel不等式)：若函数在上可积，则有证明：设显然：(*)其中，由傅立叶级数系数公式可以知道：以上各式代入(*)式，可以得到：另这个结果对于均成立，而右端是一定积分可以理解为有限常数，据此可知“”这个级数的部分和有界，则引理1成立。引理2：若函数是的周期函数，且在上可积，则它的傅立叶级数部分和可改写为：证明：设我在下边给出一个比楼主强的结论！收敛定理：设是的按段光滑函数,如果它满足:(1)在只有有限个第一类间断点,在补充定义后它可积（应当指出：补充定义后，它已不是原来的函数）。(2)在每一点都有，且定义补充定义后的函

2、数为有：，则的傅立叶级数在点x收敛于这一点的算术平均值，若在x连续，则收敛于。为方便，我仅证明是的在上的按段光滑函数(上述命题在此基础上稍加变换即可)，则当时有(其中是傅立叶级数系数)证明：由引理1容易可知：(**)若成立，则命题得证，而另外，，注意这个式子是偶函数，则若=0，则命题得证。记有微积分知识，若则它在连续，由于第一类间断点只有有限个，则它在上可积。结合(**)式可知同理可以证明因此，命题得证。B.Q.这个证法是我念书时找一个懂日文的同学给翻译的，由于他不太喜欢数学，我又不懂日文，所以我的理解可能也非原文的理解，也不能给出参考文献(不懂日文啊)。水平有

3、限，请高手见谅。