狄利克雷函数与黎曼函数的性质_何越.pdf

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1、第卷第期河南教育学院学报（自然科学版）年月狄利克雷函数与黎曼函数的性质何越华南师范大学数学科学学院广东广州，摘粟、周、、：总结并证明了狄利克雷函数与黎曼函数的性质，主要包括奇偶性期性、连续性可微性可积性特别地引入极限函数描述狄利克雷函数并在连续性中引入了上、下半连续，，关键词：狄利克雷函数；黎曼函数；连续；可导；可积中图分类号丨：：文献标识码：文章编号狄利克雷函数和黎曼函数是数学分析中病态函数的典型例子它们没有解析式没有图形，没有实际背景，是随着函数概念的深化而人为构造出来的它们常可以从正面或反面说明分析中某些重要概念，因此对它们的性质进行系统的了解是有益的下面我们简述并证明这两个函数的性质

2、狄利克貫（数的性质函数的表达式为幻事实上，虽然不是初等函数，但仍可利用极限函数建立分析表达式是无理数如下，！下证上面两个表达式表示的是同一个函数证明引人函数列则』』若设；《是互素整数且考虑函数列丨幻丨中下标的所有项，此时謂定是听的整数倍’故故—“一若丨，则对每个正整数不可能是的整数倍，则故对任意正整数成立故，性质奇偶性）函数是上的偶函数证明若则则。若故幻是上的偶，则则幻函数性质周期性）函数是周期函数，任意正有理数都是它的周期证明设是任意正有理数若，则，则幻若则，则幻故任意正有理数都是幻的周期且它没有最小正周期性质连续性）函数在上处处不连续证明若、由有理数集在实数集的稠密性知存在有理数义〉使：

3、，，，，叭：丨理若由无理数集在实数集的稠密性知存在无理数—使“。）；同，，。）。由的任意性知，幻在上处处不连续下面对连续性做进一步讨论引人上、下半连续所谓上（下）半连续是指“）在集合有意义为的聚点，，当芯时有，，半连读性在有理点处上半连续，但不下半连续在无理点的情况恰恰相反证明工当：《：为有理数时农当欠丨；时有幻莓故在有。，。，，。，理点处上半连续趴且满足丨：使得莓：。）故在有理点处不下半连续收稿日期—作者简介：何越（）女广东潮州人华南师范大学数学科学学院，，，26河南教育学院学报（自然科学版）年同理可证〉在无理点处下半连续但不上半连续推论函数幻幻只在》连续，在其他点不连续证明时，；、使得则

4、由归结原则知不存在———————综上故幻只在连续，在其他点不连续注：进而可构造幻幻仅在连续，在其他点不连续“推论函数幻在上处处可导，令幻幻幻则幻在，。可导当且仅当。）“⑷证明若卢由归结原则知在。不连续，从而在％必不可导设“’则幻是有理数则知太在可导当且仅当存在故时，（），，即〉。）—性质可微性〉由于函数在上处处不连续，故在上处处不可导尽管叭：或幻⑷在上处处不可导但幻在可导，丨证明由《知在可导，—注…其他点不可导：进而可推导幻幻仅在，可导，在；“性质积分）函数在上不可积证明任取的分割……丨、■■丨所以丨不可积，故幻在，—丨性质积分）丨函数在上可积且，证明对任一分点组且对任意。若丨则仏有、，丨，

5、，，—丨忘￡而对其他的分点总有故丨丨丨名令，，々】注舌上可积且：利用’在’，，也可证性质黎曼（函数的性质函数的表达式为丄上，当为既约分数、或为无理数性质奇偶性）函数是上的偶函数上』丄证明若设则及（：若：￡则则幻，，，故幻是上的偶函数性《周期性一）函数是周期函数，且是它的个周期证明若：设且则故及⑷若“’十’’〒故幻是上的周期函数且是它的一个周期，注『一：由于是函数的个周期故下面仅在区间上讨论其性质；，及c故丑《关于对称，性貭连续性〉函数在无理点上连续在有理点上间断（可去间断点）证明若％为有理数，任意取定，满足、的自然数只有有限个，从而在中至多只有有限个使上—。。丄因此存在使》含上述有限个有理数

6、即当《时（。；不。，⑷即第期何越：狄利克雷函数与黎曼函数的性质°而及》故《幻在。间断，且为可去间断点若。为无理数，同上述分析，时，。故在连续。综上，幻在无理点上连续，在有理点上间断半连续性：在无理点处既上半连续又下半连续，在有理点处上半连续但不下半连续证明由于幻在、连续的充要条件是幻在、连续既上半连续又下半连续，故尺（幻在无理点处既上半连续又下半°：、时连续由性质的证明知，当为有理数时，，，当，幻故在有理点处上半连续及％，且满足，使得忘故及（幻在有理点处不下半连续性质可微性）在上处处不可导证明只需证《⑷在无理点处不可导设》一〉为任无理点气且、使得。—下面只需证明存在某个有理点的点列收敛于使得

7、上述极限不为即可因为为无理数，可用无限不循环小数表示截取前位小数令则且—太注意二有无穷多项不为记第一个不为的下标为按及幻的定义当时有及。，，册一……综上，幻在上处处不可导性廣积分丨）函数在，可积且证明任给正数由于内满足即姿的有理数只有有限个（设为个），所以对的任意分割中包含这类点的小区间至多个，在其上叫因此，当丨时满足的那些小区间的总长加由可积准则知幻在可积一…对于的任分割：取为上的无理数由定义知。、，，“及